Turunan Fungsi sin, Limit Fungsi sin x/x, dan L'Hopital

Tinjau bentuk umum turunan fungsi berikut (didapat dari definisi turunan) :
$$f'(x) = \lim_{\varepsilon\to0} \frac{f(x+\varepsilon) - f(x)}{\varepsilon}$$ .
Untuk menentukan turunan dari fungsi $f(x) = \sin x$, maka kita gunakan bentuk umum di atas, menjadi
$$f'(x) = \lim_{\varepsilon\to0} \frac{\sin (x+\varepsilon) - \sin  x}{\varepsilon}$$ .
Menggunakan identitas trigonometri, bentuk di atas dapat kita ubah menjadi :
$$f'(x) = \lim_{\varepsilon\to0} \frac{\sin x \, \cos \varepsilon + \sin \varepsilon \, \cos x - \sin x}{\varepsilon}$$
$$f'(x) = \lim_{\varepsilon\to0} \frac{\sin x \, (\cos \varepsilon - 1) + \sin\varepsilon \, \cos x}{\varepsilon}$$
$$f'(x) = \sin x \lim_{\varepsilon\to0}\frac{(\cos \, \varepsilon) - 1}{\varepsilon} + \cos x \lim_{\varepsilon\to0} \frac{\sin\varepsilon}{\varepsilon}$$


Ada sedikit masalah di sini. Bentuk limit yang kita temui adalah bentuk tak-tentu $\frac{0}{0}$. Untuk menyelesaikan bentuk tersebut, kita tidak boleh menggunakan L'Hopital. Kenapa? Karena apabila kita menggunakan aturan L'Hopital, kita memanfaatkan turunan dari fungsi sin dan fungsi cos. Saat ini, kita sedang membuktikan turunan dari fungsi sin, dan turunan dari fungsi cos bergantung pada turunan fungsi sin (lebih lanjut diserahkan pada pembaca). Menggunakan L'Hopital akan menyebabkan kita pada cacat pikir circular reasoning. Secara tak langsung, kita mengatakan bahwa $\lim_{\varepsilon\to0} \frac{\sin\varepsilon}{\varepsilon}$ adalah 1 (yang akan kita lihat buktinya kemudian) karena $\lim_{\varepsilon\to0} \frac{\sin\varepsilon}{\epsilon}$ adalah 1.

Kalau begitu, bagaimana membuktikannya? Dalam tulisan ini, hanya akan dibahas limit dari $\lim_{\varepsilon\to0} \frac{\sin\varepsilon}{\varepsilon}$. Untuk bentuk cosinus, bukti diserahkan pada pembaca (hint : identitas).
Oke, sekarang tinjau lingkaran berikut :

Lingkaran tersebut adalah sebuah lingkaran yang berjari-jari 1. Dalam hal ini, $x$ dalam radian. Dengan pendekatan tersebut, $\lim_{\varepsilon\to0} \frac{\sin\varepsilon}{\varepsilon}$ dapat dibayangkan sebagai kondisi ketika $x$ sangat kecil. Apa yang akan terjadi ketika $x$ menjadi semakin kecil? Mari kita lihat :

Dalam kasus ini, panjang busur (yaitu $x$) dan $\sin x$ memiliki rasio mendekati 1. Oleh karena itu, ketika $x\to0$, $\frac{\sin x}{x} \to 1$

Kembali kepada pembuktian awal, kini kita sudah tahu bahwa $\lim_{\varepsilon\to0} \frac{\sin\varepsilon}{\varepsilon} = 1$, sehingga:
  $$f'(x) = \sin x \, \lim_{\varepsilon\to0}\frac{\cos\varepsilon - 1}{\varepsilon} + \cos x \lim_{\varepsilon\to0} \frac{\sin\varepsilon}{\varepsilon}$$
$$f'(x) = \sin x \times 0 + \cos x \times 1$$
$$f'(x) = \cos x$$

Q.E.D.