Persamaan Garis Dua dan Tiga Peubah - Persamaan Parametrik, Simetrik dan Vektor

Kalau anda pernah belajar di sekolah menengah, pastinya anda kenal dong dengan persamaan garis? Yang ini loh biasanya, misal kita ada persamaan garis yang memotong sumbu y di titik (0,c) dan memiliki gradien m, maka persamaannya
\begin{equation}
y = mx + c
\end{equation}


Persamaan kayak gitu tuh bisa dibilang persamaan garis yang punya vektor arah $(1,m)$. Persamaan itu salah satu contoh persamaan garis di dimensi 2, yang dinyatakan pakai 2 peubah. Lalu, gimana bentuk yang lebih umum kalau kita mau main di bidang? Berarti kita perlu main 3 peubah.

Untuk menyatakan suatu persamaan garis, kita bisa identifikasi dari salah satu titik yang dia lalui, dan vektor arahnya. Vektor arah itu gimana sih maksudnya? Jadi misal kita punya persamaan garis $y = 2x + 4$, maka

Nah dari situ keliatan kan, garis ini punya arah yang dia naik ke atas 2 setiap geser ke kanan 1 (oke gw tau ini gw sangat menyederhanakan), berarti vektor arahnya (1,2). Lalu gimana kalau dia geser ke kanannya lebih dari 1? Misal dia geser ke kanan sebanyak $t$, berarti kita tinggal kalikan saja 2 dengan $t$ untuk mendapat  pergeserannya ke atas. Jadinya perkalian skalar $t$ terhadap vektor arahnya kan? Ini berarti persamaan garis bisa kita katakan dalam persamaan vektor dengan bentuk
\begin{equation}
\textbf{u}(t) = (0,c) + t(1,m)
\end{equation} untuk garis yang melalui $(0,c)$ dan memiliki gradien $m$.

Bentuk lebih umumnya adalah untuk tiga peubah yang garisnya memiliki vektor arah $\textbf{v} = (i,j,k)$ dan melalui titik $(x_0, y_0, z_0)$ dapat dinyatakan sebagai
\begin{equation}
\textbf{u}(t) = (x_0, y_0, z_0) + t\textbf{v}
\end{equation}.
Tapi apakah hanya itu cara menyatakan persamaan garis? Tentu tidak. Kita akan lihat bentuk berikutnya yang disebut sebagai persamaan simetrik. Gw rasa sih bentuk ini yang paling sering ditemui di SMP/SMA (kalau SD kayaknya belom sih). Masih untuk garis dengan vektor arah yang sama dan melalui titik yang sama, persamaannya dapat ditulis dalam bentuk
\begin{equation}
\frac{x-x_0}{i} = \frac{y-y_0}{j} = \frac{z-z_0}{k}
\end{equation}.
Kalau kita mau reduksi untuk 2 peubah aja gimana? Ya hapus aja salah satunya. Misalnya kita cuma mau main di sumbu x sama sumbu y, persamaannya kita bikin jadi
\begin{equation}
\frac{x-x_0}{i} = \frac{y-y_0}{j} ; z = z_0
\end{equation}.
Bentuk ini jadinya persamaan garis yang ada di $z = z_0$.

Apa masih ada cara lain utk ngerepresentasiinnya? Ada! Bentuk ini disebut persamaan parametrik. Jadi bentuknya kayak gini (lagi-lagi masih untuk garis yang sama)
\begin{equation}
x = x_0 + ti\\
y = y_0 + tj\\
z = z_0 + tk
\end{equation}
Bentuknya simpel dan cenderung mudah diingat sih. Tapi tentunya beda persoalan bisa jadi punya "bentuk enak" yang berbeda. Jadi kalau bisa inget struktur umumnya, mestinya bisa lah ngubah bentuknya, dari parametrik ke vektor, atau dari vektor ke simetrik, dan lain-lain.

Apabila ada kritik dan saran, atau apabila menemukan kesalahan, silahkan coret-coret di bagian komentar.