Jumlah dan Hasil Kali Tangen Sudut pada Segitiga ABC

Misalkan terdapat segitiga ABC, dengan jumlah sudut A+B+C = 180 derajat. Berapakah $\tan A + \tan B + \tan C$? Berapakah $\tan A \tan B \tan C$?

Untuk menghitung nilai dari tangen tersebut, kita lakukan beberapa observasi dahulu (yang gw rasa cukup obvious, sih). Karena jumlah sudut segitiga ABC = 180 derajat (anggap segitiga ada pada permukaan datar), berarti
$$\begin{equation} A+B+C = 180^{\circ}\\ A+B = 180^{\circ} - C \end{equation}$$ .
Maka, dapat dilihat bahwa
$$\begin{equation} \tan(A+B) = \tan(180^{\circ}-C) \end{equation}$$ .
Perlu diingat bahwa $\tan 180^{\circ} = 0$ , dan juga terdapat identitas
$$\begin{equation} \tan(A\pm B) = \frac{\tan(A) \pm \tan(B)}{1\mp \tan A \tan B} \end{equation}$$ .
Dengan begitu, maka persamaan yang kita dapatkan tadi bisa diubah menjadi bentuk
$$\begin{equation}   \frac{\tan(A) + \tan(B)}{1-\tan A \tan B} = \frac{\tan(180^{\circ}) - \tan(C)}{1+\tan (180^{\circ}) \tan C} \end{equation}$$
Mengalikan kedua ruas dengan $1-\tan A \tan B$ dan mensubtitusikan $\tan(180^{\circ})$ dengan 0, didapat
$$\begin{equation} \tan A + \tan B = -\tan C + \tan A \tan B \tan C\\ \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C \end{equation}$$ .
Dari bentuk di atas, dapat dilihat bahwa jumlah tangen ketiga sudut pada segitiga ABC sama dengan hasil kali tangen pada segitiga ABC.