Aspek Kuantitatif Peluruhan Radioaktif

Oke, di post ini gw bikin singkat aja yak.

Peluruhan inti sebanding dengan N dan dapat dinyatakan dalam persamaan diferensial linear orde pertama, yaitu sebagai :
\begin{equation}
-\frac{dN}{dt} = \lambda N
\end{equation}.
Pada ruas kiri persamaan adalah laju perubahan. $\lambda$ di sini melambangkan konstanta disintegrasi.
Solusi dari persamaan di atas didapat dengan mengintegralkan kedua ruas :
\begin{equation}
\int_{N_0}^{N} \frac{dN}{N} = -\lambda \int_{t_0}^{t} dt
\end{equation}
yang kemudian kita dapatkan
\begin{equation}
\ln{N} - \ln{N_0} = -\lambda (t-t_0)
\end{equation}.
Apabila $t_0 = 0$, maka $N_0$ adalah jumlah awal dari inti radioaktif.
Mengeksponensialkan kedua ruas persamaan di atas, kita dapat
\begin{equation}
 \frac{N}{N_0} = \exp{(-\lambda t)}
\end{equation}
\begin{equation}
N = N_0 \exp{(-\lambda t)}.
\end{equation}
Terkadang, yang ingin ditijau adalah laju peluruhan itu sendiri, kita sebut saja $R$ = $-\frac{dN}{dt}$, dari persamaan yang sudah kita punya, kita bisa susun ulang menjadi

\begin{equation}
R = \lambda N_0 \exp{(-\lambda t)}
\end{equation}
atau
\begin{equation}
R = R_0 \exp{(-\lambda t)}
\end{equation}.

Dari sini kita bisa definisikan waktu paruh / half life (dilambangkan dengan $T_{1/2}$) sebagai kondisi ketika $R = \frac{R_0}{2}$, dan kita hitung waktu paruh :

\begin{equation}
\frac{R_0}{2} = R_0 \exp{(-\lambda T_{1/2})}
\end{equation}
\begin{equation}
T_{1/2} = \frac{\ln{2}}{\lambda}
\end{equation}