Potensial Gravitasi dan Orbit

Misal terdapat sebuah sistem yang terdiri atas 2 buah benda, dengan massa benda pertama, sebut saja $M_a$, jauh lebih besar daripada massa benda kedua, sebut saja $M_b$, dan benda pertama memiliki jari-jari yang juga jauh lebih besar daripada jari-jari benda kedua. Benda kedua terletak di luar benda pertama, dengan jarak sejauh $R$ dari pusat massa sistem yang diasumsikan ada tepat di tengah benda pertama.

Untuk kasus ini, kita definisikan fungsi gaya gravitasi pada jarak $r$ dari pusat massa sebagai $\vec{F}(r)$. Menggunakan definisi usaha, maka kita bisa tuliskan usaha yang dilakukan oleh gaya gravitasi sebagai
\begin{equation}
W = \int \vec{F}(r)\cdot d\vec{r}
\end{equation}.
Dalam kasus ini, kita akan mencari usaha yang dilakukan gaya gravitasi dari posisi benda kedua (yang berjarak $R$ dari pusat massa sistem) ke jarak yang sangat besar (tak hingga). Integrasi di atas dapat kita tuliskan ulang sebagai 
\begin{equation}
W = \int_R^\infty \vec{F}(r)\cdot d\vec{r}
\end{equation}.
Hasil kali titik antara $\vec{F}$ dengan $d\vec{r}$ akan menghasilkan $F(r)\, dr\, \cos\, \theta$. Pada gambar dapat dilihat bahwa $\theta$ adalah $180$ derajat, sehingga $\cos\, \theta\, = -1$.
Kita ketahui bahwa $F(r) = \frac{GM_aM_b}{r^2}$, sehingga $\vec{F}(r)\cdot d\vec{r}$ adalah $-\frac{GM_aM_b}{r^2}\, dr$
Bentuk integral di atas dapat diubah menjadi
\begin{equation}
W = -GM_aM_b \int_R^\infty \frac{dr}{r^2}
\end{equation}
dan dengan menyelesaikan integral didapat
\begin{equation}
W = \frac{GM_aM_b}{R}
\end{equation}.

Dari sini, kita bisa dapatkan perubahan energi potensial (\Delta U = -W) dengan menggunakan persamaan
\begin{equation}
U_\infty - U = -W
\end{equation}.
Pada titik berjarak tak hingga, energi potensial bernilai 0, sehingga kita dapatkan energi potensial pada jarak $R$ adalah $W$, yaitu $U = W =  \frac{GM_aM_b}{R}$.

Sekarang mari tinjau kasus orbit lingkaran.

 

Dalam kasus ini, gaya sentripetal akan sama dengan gaya gravitasi, oleh karena itu kecepatan orbit lingkaran pada jarak $R$ dari pusat massa sistem akan bernilai

$$\frac{GM_aM_b}{R^2} = \frac{M_bv^2}{R}$$

$$v = \sqrt{\frac{GM_a}{R}}$$

Sekarang mari kita tinjau kasus lainnya, yaitu orbit lepas.

Sebelumnya kita sudah menghitung usaha oleh gaya gravitasi. Kita menghitung usaha yang diperlukan untuk menggerakkan benda menuju tak hingga, yaitu untuk lepas dari pengaruh gaya gravitasi. Untuk itu, kita perlu energi kinetik yang besarnya sama dengan energi potensial gravitasi, sehingga memenuhi $K + U = 0$, dengan $K$ adalah energi kinetik. Hal ini menyebabkan:

$$K = -U$$

$$\frac{M_b\, v^2}{2} = \frac{GM_aM_b}{R}$$

$$v = \sqrt{\frac{2GM_a}{R}}$$