Integral Lipat Menarik dalam Koordinat Polar

Soal ini diambil dari buku Thomas' Calculus bab 15 soal AAE12(a). Sederhananya, soal ini adalah:

Tunjukkan bahwa $$\int_{0}^{a \sin{\beta}} \int_{y \cot{\beta}}^{\sqrt{a^2 - y^2}} \ln{(x^2 + y^2)} \ dx \ dy = a^2\beta \ (\ln{a} - \frac{1}{2})$$
Untuk setiap $a$ dan $\beta$ yang memenuhi $a > 0$ dan $0 < \beta < 2$.
Pertama, dari batas pengintegralannya patut kita curigai bahwa mengubah integral tersebut ke koordinat polar dapat membantu. Dari batasan $a$ dan $\beta$ yang diberikan pada soal, kita gambarkan dulu dugaan kita terhadap daerah pengintegralannya dalam koordinat polar, yaitu

Misalkan gambar tersebut adalah lingkaran berjari-jari satu. Titik $P(a \cos{\beta}, a \sin{\beta})$ terletak pada lingkaran tersebut. Garis tersebut adalah garis $$y = \tan{(\beta)} x$$ (coba buktikan! Hint: Persamaan garis dari (0,0) ke titik P).

Perhatikan bahwa integral lipat tersebut berbatas dari $x = y \cot{\beta}$ ke $x = \sqrt{a^2 - y^2}$ (saya arsir gambar di atas ke samping untuk memudahkan pembaca membayangkannya) dan dari $y = 0$ ke $y = a \sin{\beta}$. Daerah antara garis tersebut dan sumbu x adalah batas pengintegralan dari integral lipat pada permasalahan ini.

Sekarang, kita sudah punya batas pengintegralan dalam koordinat polar. Bagaimana hasil integralnya?

Perhatikan bahwa transformasi ke koordinat polar mengubah fungsi $\ln{x^2 + y^2}$ menjadi $\ln{r^2}$. Oleh karena itu, kita dapatkan $$\int_{0}^{a \sin{\beta}} \int_{y \cot{\beta}}^{\sqrt{a^2 - y^2}} \ln{(x^2 + y^2)} \ dx \ dy \ = \int_{0}^{\beta} \int_{0}^{a} \ \ln{r^2} \ r \ dr d\beta$$

Dengan memisalkan $u = r^2$, maka $du = 2r dr$. Akibatnya, $$\int_{0}^{\beta} \int_{0}^{a} \ \ln{r^2} \ r \ dr d\beta = \int_{0}^{\beta} \frac{1}{2} \int_{0}^{a^2} \ln{u} \ du$$
$$= \int_{0}^{\beta} \frac{1}{2} \ (u (\ln{u} - 1))\Biggr|_{0}^{a^2}\ d\beta$$
$$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\beta} a^2 (\ln{a^2} - 1) \ d\beta$$
$$= a^2\beta \ (\ln{a} - \frac{1}{2})$$

Terbukti.