Polinomial Karakteristik Matriks 2x2: Nilai Eigen, Trace, dan Determinan


Dalam masalah mencari nilai eigen suatu matriks A, seringkali berguna untuk memperhatikan polinomial karakteristiknya p(λ)=λn+c1λn1+...+cn
yang diturunkan dari persamaan karakteristik det(λIA)=0
untuk I matriks identitas berukuran sama dengan A.

Pada tulisan ini hanya akan ditinjau A suatu matriks 2×2. Meskipun demikian, anda dapat menggunakan cara serupa untuk menggeneralisasinya pada sembarang matriks A berukuran n×n.

Tinjau A=[a11a12a21a22]
Akan dicari polinomial karakteristik dari persamaan karakteristiknya.
|λa11a12a21λa22|=(λa11)(λa22)(a12a21)
Didapat polinomial λ2(a11+a22)λ+a11a22a12a21

Akar-akar dari polinom tersebut merupakan nilai eigen dari matriks A.

Sekarang, tinjau teorema Vieta (bukti teorema Vieta tidak akan dibahas di sini). Dengan teorema Vieta, kita tahu bahwa jumlah dari akar-akar suatu polinomial αx2+βx+γ adalah βα dan hasil kali akar-akarnya adalah γα. Jika kita gunakan pada polinomial karakteristik matriks A, kita dapatkan jumlah dari akar-akar polinomialnya (yaitu jumlah dari nilai-nilai eigennya) adalah a11+a22, yaitu trace(A). Hasil kali nilai-nilai eigennya adalah a11a22a12a21, yaitu det(A).

Komentar

Postingan Populer