Polinomial Karakteristik Matriks 2x2: Nilai Eigen, Trace, dan Determinan

Dalam masalah mencari nilai eigen suatu matriks $A$, seringkali berguna untuk memperhatikan polinomial karakteristiknya $$p(\lambda) = \lambda ^ n + c_1 \lambda ^ {n-1} + ... + c_n$$ yang diturunkan dari persamaan karakteristik $$det(\lambda I - A) = 0$$ untuk $I$ matriks identitas berukuran sama dengan $A$.

Pada tulisan ini hanya akan ditinjau $A$ suatu matriks $2\times2$. Meskipun demikian, anda dapat menggunakan cara serupa untuk menggeneralisasinya pada sembarang matriks A berukuran $n \times n$.

Tinjau $A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}$
Akan dicari polinomial karakteristik dari persamaan karakteristiknya.
$ \begin{vmatrix}
\lambda - a_{11} & -a_{12} \\
- a_{21} & \lambda -a_{22}
\end{vmatrix}  = (\lambda - a_{11})(\lambda - a{22}) - (a_{12}a_{21})$
Didapat polinomial $\lambda^2 - (a_{11} + a_{22})\lambda + a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$

Akar-akar dari polinom tersebut merupakan nilai eigen dari matriks $A$.

Sekarang, tinjau teorema Vieta (bukti teorema Vieta tidak akan dibahas di sini). Dengan teorema Vieta, kita tahu bahwa jumlah dari akar-akar suatu polinomial $\alpha x^2 + \beta x + \gamma$ adalah $\frac{-\beta}{\alpha}$ dan hasil kali akar-akarnya adalah $\frac{\gamma}{\alpha}$. Jika kita gunakan pada polinomial karakteristik matriks $A$, kita dapatkan jumlah dari akar-akar polinomialnya (yaitu jumlah dari nilai-nilai eigennya) adalah $a_{11} + a_{22}$, yaitu trace($A$). Hasil kali nilai-nilai eigennya adalah $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$, yaitu det($A$).