Bilangan Bulat, Grup, dan Gelanggang Komutatif

Saya rasa anda pasti cukup familiar dengan himpunan bilangan bulat $\mathbb{Z}$ beserta operasi penjumlahan pada himpunan tersebut. Namun sebelumnya, apa sih operasi itu? Kita tinjau dulu untuk operasi penjumlahan pada bilangan bulat. Sebenarnya yang dilakukan operasi penjumlahan kan memetakan 2 buah unsur di bilangan bulat ke unsur lain di bilangan bulat juga. Secara formal, kita tuliskan operasi penjumlahan sebagai suatu pemetaan $$+: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$$ $$(a,b) \mapsto a+b \quad \forall a,b \in \mathbb{Z}$$
Secara umum, kita definisikan operasi $*$ pada himpunan $S$ sebagai suatu pemetaan $$*: S \times S \rightarrow S$$


Sekarang, kita tinjau sifat-sifat pada himpunan bilangan bulat yang dilengkapi operasi penjumlahan. Apa saja properti yang dimiliki? Seperti yang dipelajari di sekolah dasar, kita tahu bahwa operasi penjumlahan pada bilangan bulat bersifat asosiatif, yaitu untuk $a,b,c \in \mathbb{Z}$ berlaku
$$a + (b +c) = (a + b) + c$$

Lalu apa lagi? Kita juga tahu bahwa operasi penjumlahan bersifat komutatif, yaitu untuk $a,b \in \mathbb{Z}$ berlaku $$a + b = b + a$$

Kita juga tahu bahwa ada bilangan 0 dalam himpunan bilangan bulat, yaitu sebuah bilangan yang memenuhi $a + 0 = a$ untuk setiap $a \in \mathbb{Z}$. Kita juga tahu bahwa untuk setiap $a \in \mathbb{Z}$ ada $b \in \mathbb{Z}$ yang memenuhi $a + b = 0$. Kita sebut ini sebagai invers penjumlahan dan kita tulis $b = -a$.

Kita rangkum kesemua sifat tersebut sebagai:

1. Asosiatif terhadap operasi +
2. Komutatif terhadap operasi +
3. Ada identitas terhadap operasi +
4. Ada invers terhadap operasi +

Bagaimana kalau kita generalisasi? Andaikan ada suatu himpunan tak kosong $G$ dengan operasi $*: G \times G \rightarrow G$ (kita tulis sebagai $(G, *)$) yang memenuhi keempat sifat di atas, kita sebut $(G,*)$ sebagai suatu grup komutatif atau grup abel. Operasi $*$ di sini adalah suatu operasi generik, bisa berupa operasi apa saja asalkan memenuhi definisi operasi. Contoh lain dari grup komutatif adalah $(\mathbb{R},+)$, yaitu bilangan real dengan operasi penjumlahan (coba anda cari contoh lainnya).

Selain penjumlahan, kita pun tahu bahwa ada operasi lain pada bilangan bulat, yaitu operasi perkalian. Operasi perkalian ini memenuhi sifat komutatif, asosiatif, dan eksistensi identitas (yaitu 1). Bagaimana dengan invers? Ternyata jika kita periksa, bilangan bulat positif tidak selalu punya invers terhadap operasi perkalian. Tak lupa, kita punya satu sifat lagi yang menggunakan kedua operasi, yaitu sifat distributif: untuk setiap $a,b,c \in \mathbb{Z}$ berlaku $$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$$

Kita pun bisa generalisasi ini untuk suatu sistem matematika dengan 2 operasi. Misalkan $S$ himpunan tak kosong dengan 2 operasi $\oplus$ dan $*$ pada $S$. Jika $(S,\oplus)$ membentuk sebuah grup komutatif dan operasi $*$ pada $S$ memenuhi sifat asosiatif, komutatif, dan distributif, kita katakan bahwa sistem matematika $(S, \oplus, *)$ sebagai suatu gelanggang komutatif (atau dalam bahasa inggris disebut sebagai "ring").

Kenapa yang saya bahas di sini adalah grup dan gelanggang komutatif? Tunggu jawabannya di post berikutnya :)