Ruang Vektor

Nggak seram kok (・ω・)b

Saya rasa anda sudah familiar dengan vektor-vektor pada $\mathbb{R}^2$ dan $\mathbb{R}^3$. Vektor-vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai sebuah panah yang awalnya ada di titik $(0,0)$ (atau $(0,0,0)$ di $\mathbb{R}^3$) dan ujungnya ada di suatu titik pada bidang $xy$ atau $xyz$.

(Catatan: Sebelum membaca tulisan ini lebih lanjut, ada baiknya membaca 2 tulisan saya sebelumnya)

Sekarang, kita tinjau cara lain untuk memandang suatu vektor. Kalau sebelumnya kita pandang sebagai suatu objek geometris, sekarang kita akan pandang sebagai suatu objek abstrak. Himpunan-himpunan objek tersebut juga kita lengkapi dengan sebuah operasi, sebut operasi itu sebagai operasi penjumlahan (definisi operasi telah saya bahas pada tulisan sebelumnya).

Bagaimana dengan sifat operasinya? Sebagai analogi dengan vektor yang sudah biasa kita kenal, tinjau vektor di $\mathbb{R}^2$. Kita tahu bahwa vektor-vektor di $\mathbb{R}^2$ dapat dijumlahkan dan dikurangkan. Berarti, setiap vektor di $\mathbb{R}^2$ punya invers terhadap penjumlahan. Kita juga tahu bahwa ada vektor nol di $\mathbb{R}^2$ sehingga untuk setiap $v \in \mathbb{R}^2$ berlaku $v + 0 = v$ (0 di sini adalah vektor nol). Berarti $\mathbb{R}^2$ punya identitas terhadap penjumlahan. Apa lagi sifat-sifatnya? Dengan sedikit observasi anda akan temui bahwa operasi penjumlahan terhadap vektor-vektor di $\mathbb{R}^2$ memenuhi sifat komutatif dan asosiatif. Struktur matematika apa yang punya sifat-sifat seperti itu?

You guessed it

Sebuah grup komutatif! (jika anda tidak tahu apa itu grup, silahkan baca dulu ini)

Jadi, sejatinya sebuah ruang vektor (koleksi vektor-vektor) adalah sebuah grup komutatif $(V,+)$  dengan operasi yang kita sebut sebagai penjumlahan (yang bisa saja anda definisikan sebagai operasi seperti apa saja asal tetap membentuk grup). Biasanya kita akan sebut ruang vektor tersebut sebagai ruang vektor $V$. Apakah sudah lengkap pendefinisiannya? Belum.

Saya rasa anda pasti sudah familiar dengan hasil kali skalar. Tapi sebelum membahas hasil kali skalar, muncul pertanyaan lagi, sebenarnya skalar itu apa sih? Biasanya kita kenal skalarnya itu kan bilangan real, lalu bagaimana kalau kita generalisasi? Pada tulisan ini telah dibahas bahwa (salah satu cara untuk membuat) generalisasi dari sifat-sifat $\mathbb{R}$ adalah dengan meninjau suatu lapangan dengan operasi penjumlahan dan perkalian. Sekarang, kita definisikan bahwa sebuah skalar adalah suatu anggota lapangan $F$. Nah, sekarang barulah kita tinjau hasil kali skalar.

Misal ada suatu vektor $v = (1,1) \in \mathbb{R}^2$ dan suatu skalar $k \in \mathbb{R}$. Hasil kali skalar $kv = (k,k)$. Sebenarnya, apa sih perkalian skalar itu? Apakah dia sebuah operasi?

Tinjau kembali definisi operasi. Suatu operasi akan memetakan 2 buah anggota dari suatu himpunan $S$ ke tepat satu anggota $S$. Apa yang dilakukan oleh perkalian skalar? Dia mengambil sebuah anggota himpunan skalar-skalar (pada contoh tadi, himpunannya adalah $\mathbb{R}$) dan sebuah vektor dari suatu ruang vektor $V$ lalu dipetakan ke tepat satu vektor anggota $V$. Untuk itu, kita perlu definisikan hal baru.

Definisi
Suatu aksi lapangan $F$ pada ruang vektor $V$ adalah pemetaan $F \times V \rightarrow V$ dengan pengaitan $(\alpha, v) \mapsto \alpha v$ untuk semua $(\alpha, v) \in F \times V$ serta untuk semua $a,b \in F$ dan $u,v \in V$ berlaku:

• $a (u + v) = au + av$
• $(a + b)v = av + bv$
• $1v = v$
• $(ab)v = a(bv) = b(av)$

Nah, aksi lapangan $F$ pada $V$ ini yang akan kita sebut sebagai hasil kali skalar. Sebagai contoh, misal kita punya vektor $v$ di $\mathbb{R}^n$ dengan $v = (a_1, a_2, ... , a_n)$. Kita bisa definisikan hasil kali skalar sebagai pengaitan $(k,v) \mapsto (k * a_1, k * a_2, ... , k*a_n)$ (di sini $*$ adalah perkalian biasa). Silahkan anda periksa bahwa pendefinisian hasil kali skalar seperti itu memenuhi.

Jadi, ruang vektor sejatinya adalah suatu grup komutatif $(V,+)$ yang dilengkapi dengan sebuah aksi lapangan $F$ pada $V$. Kita sebut ini sebagai ruang vektor $V$ atas lapangan $F$.

Sebagai latihan, cobalah anda buktikan (dengan menggunakan definisi) bahwa untuk setiap vektor $a$ dan skalar $0$ (yaitu unsur identitas penjumlahan pada lapangan $F$) berlaku $0(a) = 0$ (perhatikan bahwa 0 di ruas kiri adalah suatu skalar dan 0 di ruas kanan adalah suatu vektor. Hint: 0 + 0 = 0 )