Operator yang Adjoint dengan Dirinya Sendiri

Misalkan kita punya ruang hasil kali dalam $(V, \langle \cdot , \cdot \rangle)$ berdimensi hingga dengan $V$ adalah ruang vektor atas $F$. Definisikan suatu operator linier $T: V \rightarrow V$. Pertama, kita akan definisikan dulu operator adjoint dari $T$.

Definisi
Untuk $T$ suatu operator linier, $T^*: V \rightarrow V$ adalah suatu operator yang memenuhi
$$ \langle T(x), y \rangle = \langle x, T^*(y) \rangle$$

Kita sebut $T^*$ sebagai operator adjoint dari $T$

Muncul pertanyaan di sini. Kalau pada matriks kita punya matriks Hermite atau matriks self-adjoint, bagaimana dengan adjoint pada operator linier?

Untuk menjawab pertanyaan itu, kita perlu tinjau representasi dari $T$. Misalkan $X = \{x_1, x_2, ..., x_n\}$ basis ortonormal bagi ruang vektor $V$. Kita definisikan matriks $A$ sebagai $[T]_{X}$, yaitu representasi $T$ terhadap basis $X$ dan matriks $B$ sebagai $[T^*]_{X}$, yaitu representasi $T^*$ terhadap basis $X$. Kita dapat tulis matriks-matriks tersebut sebagai
$A =  \begin{bmatrix}
a_{11} & ... & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & ... & a_{nn}
\end{bmatrix}  $ dan $B =  \begin{bmatrix}
b_{11} & ... & b_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
b_{n1} & ... & b_{nn}
\end{bmatrix}  $

Matriks $A$ dan $B$ dapat ditulis sebagai

$A =  \begin{bmatrix}
[T(x_1)]_{X} & ... & [T(x_n)]_{X}
\end{bmatrix}  $
$B =  \begin{bmatrix}
[T^*(x_1)]_{X} & ... & [T^*(x_n)]_{X}
\end{bmatrix}  $

Dari representasi tersebut kita dapatkan untuk $1 \le i \le n$ berlaku $T(x_i) = a_{1i}x_1 + a_{2i}x_2 + ... + a_{ni}x_n$ (dan serupa untuk $T^*$).
Perhatikan bahwa untuk $1 \le i,j \le n$ berlaku
$\langle T(x_i), x_j \rangle = a_{ji} = \langle x_i, T^*(x_j) \rangle$
Dengan membongkar $T^*$, kita dapatkan ruas kiri persamaan tersebut adalah $ \langle x_i, b_{1j} x_j + ... + b_{nj} x_n \rangle$
Dari sifat bilinearitas hasil kali dalam dan fakta bahwa $X$ ortonormal, kita dapatkan $ \langle x_i, b_{1j} x_j + ... + b_{nj} x_n \rangle = \langle x_i, b_{ij}x_i \rangle$

Kita asumsikan hasil kali dalam yang digunakan adalah hasil kali dalam kompleks sehingga $\langle x_i, b_{ij} x_i \rangle = \overline{b_{ij}}$ (yaitu konjugat kompleks dari $b_{ij}$). Karena $a_{ji}  = \overline{b_{ij}}$ untuk $1 \le i,j \le n$ maka $A = \overline{B^t}$ (konjugat transpos).

Sekarang, tinjau kasus operator yang adjoint dengan diri sendiri (operator self adjoint). Operator linier $T$ dikatakan self adjoint jika $T = T^*$. Matriks representasi dari operator ini, $A$, akan sama dengan konjugat transposnya ($A = \overline{A^t}$) sehingga $A$ adalah matriks hermite (atau matriks simetrik jika $A$ matriks real).

Berikutnya, kita akan tinjau nilai dan vektor eigen dari operator self adjoint tersebut. Misalkan $T$ operator linier self adjoint sehingga $T = T^*$ dengan $v_1, v_2$ masing-masing vektor eigen dari nilai eigen $\lambda_1, \lambda_2$ yang berbeda ($\lambda_1 \ne \lambda_2$).

Teorema
Untuk operator $T$ yang didefinisikan di atas, nilai-nilai eigen, dan vektor-vektor eigennya, berlaku

1. Salah satu nilai eigennya real
2. $\langle x_1, x_2 \rangle = 0$

Bukti
Pertama akan dibuktikan dahulu bagian (1). WLOG, $\lambda_1$ yang real. Perhatikan bahwa
$\lambda_1 \langle x_1, x_1 \rangle = \langle \lambda_1 x_1, x_1 \rangle = \langle T(x_1), x_1 \rangle$.
Karena $T$ self adjoint, $\langle T(x_1), x_1 \rangle = \langle x_1, T(x_1) \rangle = \overline{\lambda_1} \langle x_1, x_1 \rangle$
Karena vektor eigen tak mungkin vektor nol, $\langle x_1, x_1 \rangle$ juga tak mungkin nol sehingga haruslah $\lambda_1 = \overline{\lambda_1}$. Akibatnya, haruslah $\lambda_1$ real.

Untuk bagian kedua, perhatikan bahwa $\lambda_1 \langle x_1, x_2 \rangle = \langle T(x_1), x_2 \rangle = \langle x_1, T(x_2) \rangle = \overline{\lambda_2} \langle x_1, x_2 \rangle$

Kita dapatkan $\lambda_1 \langle x_1, x_2 \rangle = \overline{\lambda_2} \langle x_1, x_2 \rangle$. Andaikan $\langle x_1, x_2 \rangle$ tak nol, haruslah $\lambda_1 = \overline{\lambda_2}$. Karena $\lambda_1$ real, haruslah $\lambda_1 = \lambda_2$, menyalahi pernyataan kita di awal bahwa $\lambda_1 \ne \lambda_2$. Jadi, haruslah $\langle x_1, x_2 \rangle = 0$

Dengan terbuktinya kedua pernyataan tersebut, teorema kita terbukti dan kita selesai.

Di sini kita sudah mengkaji terkait $T^*$ dan salah satu sifat dari operator $T$ yang adjoint dengan dirinya sendiri. Namun apakah ada operator yang berperilaku seperti itu? Dengan kata lain, adakah $T^*$? Nantikan di tulisan lainnya :)