Bermain dengan Bilangan Fibonacci : Jumlah Bilangan Fibonacci

Seperti yang pernah disebutkan di post ini, barisan fibonacci adalah salah satu barisan favorit saya. Kalau sebelumnya dibahas tentang teorema Zeckendorf, sekarang bagaimana kalau suku-suku pada bilangan fibonacci kita jumlahkan?
Untuk mempermudah, definisikan barisan $S_n = \sum_{i=1}^n F_i$, yaitu $S_n$ adalah jumlah bilangan fibonacci hingga suku ke-n (pendefinisian bilangan fibonacci ada pada postingan sebelumnya). Mari kita lakukan beberapa observasi:

$S_1 = F_1 = 1$
$S_2 = F_1 + F_2 = 1+1 = 2$
$S_3 = F_1 + F_2 + F_3 = 1+1+2 = 4$
$S_4 = F_1 + ... + F_4 = 1+1+2+3 = 7$
$S_5 = F_1 + ... + F_5 = 1+1+2+3+5 = 12$
$S_6 = F_1 + ... + F_6 = 1+1+2+3+5+8 = 20$
$S_7 = F_1 + ... + F_7 = 1+1+2+...+13 = 33$
dst..

Sekarang bandingkan hasil yang kita dapat dengan barisan bilangan fibonacci: $1,1,2,3,5,8,13,21,34,...$. Pola apa yang kita temui?

Dari observasi sebelumnya kita dapat membuat konjektur:
$$\forall n \in \mathbb{Z}^+ \, , \, S_n = F_{n+2}-1$$

Sekarang tinggal buktikan. Akan dibuktikan bahwa konjektur tersebut benar dengan menggunakan induksi.

Periksa basis induksi, untuk $n = 1$, $S_1 = F_3 - 1 = 2-1 = 1$, sehingga basis induksi benar.
Asumsikan untuk setiap bilangan bulat positif $k$ berlaku $S_k = F_{k+2}-1$, kita sekarang periksa untuk $m = k+1$. Kita dapatkan $S_{m} = S_{k+1} = F_{k+2}-1 + F_{k+1}$. Dari definisi bilangan fibonacci, kita dapatkan $F_{k+2} + F_{k+1} = F_{k+3} = F_{(k+1)+2}$, sehingga $S_{k+1} = F_{(k+1)+2} - 1$. Dari prinsip induksi, telah terbukti bahwa untuk setiap $n$ bulat positif berlaku $S_n = F_{n+2}-1$, dengan demikian kita selesai.

Tambahan
Periksa untuk jumlah unsur-unsur berindeks genap saja, ganjil saja, dan jumlah dari kuadrat setiap unsurnya. Apa yang anda dapatkan?