Eksistensi Operator Adjoint
Kalau di post sebelumnya telah dibahas tentang operator adjoint dan operator yang adjoint dengan diri sendiri, sekarang kita ingin bertanya: apakah operator adjoint itu ada? Dengan kata lain, untuk suatu operator (linier) T pada ruang hasil kali dalam V, apakah ada operator linier T∗ sehingga ⟨T(x),y⟩=⟨x,T∗(y)⟩ untuk setiap x,y∈V?
Sebelum menjawab pertanyaan tersebut, mari kita mulai dengan teorema berikut.
Teorema 1
Misalkan V ruang hasil kali dalam berdimensi hingga atas F dan g:V→F sebarang pemetaan linier. Ada suatu vektor tunggal y∈V sehingga g(x)=⟨x,y⟩
Bukti
Misalkan β={v1,v2,...,vn} basis ortonormal bagi V. Pilih y=∑ni=1¯g(vi)vi (catatan: ¯g(vi) adalah konjugat kompleks dari g(vi)).
Substitusi, kita dapatkan ⟨x,y⟩=⟨x,∑ni=1¯g(vi)vi⟩
Kita definisikan pemetaan linier h:V→F dengan h(x)=⟨x,y⟩. Akan ditunjukkan bahwa h linier. Ambil u,v∈V dan α∈F, kita punya h(αu+v)=⟨αu+v,y⟩. Dari bilinearitas hasil kali dalam, kita dapatkan h(αu+v)=α⟨u,y⟩+⟨v,y⟩=αh(u)+h(v). Jadi, h linier.
Berikutnya, akan ditunjukkan g=h. Cukup ditunjukkan g(vi)=h(vi) untuk setiap vi∈β. Tinjau h(vi) untuk i∈[1,n]. Kita punya h(vi)=⟨vi,∑nj=1¯g(vj)vj⟩. Karena β basis ortonormal, kita dapatkan h(vi)=⟨vi,¯g(vi)vi⟩=g(vi)⟨vi,vi⟩=g(vi). Jadi, h=g sehingga g(x)=⟨x,y⟩ untuk suatu y∈V (yang telah kita konstruksi sebelumnya). QED.
Teorema tersebut akan kita manfaatkan untuk membuktikan eksistensi dan ketunggalan operator adjoint. Pernyataan eksistensi dan ketunggalan tersebut akan kita tulis dalam teorema berikut
Teorema 2 (Eksistensi dan Ketunggalan Operator Adjoint)
Misalkan V suatu ruang hasil kali dalam berdimensi hingga atas F dan T suatu operator linier pada V, maka ada T∗ operator linier yang tunggal sehingga ⟨T(x),y⟩=⟨x,T∗(y)⟩ untuk setiap x,y∈V
Sebelum memberi bukti untuk teorema 2, kita definisikan dulu suatu pemetaan linier gy:V→F dengan gy(x)=⟨T(x),y⟩ untuk sebarang y∈V. Bukti bahwa gy adalah pemetaan linier diserahkan pada pembaca (toh buktinya serupa dengan bukti kelinieran g).
Bukti teorema 2
Dari teorema 1, kita tahu ada suatu vektor tunggal di V, sebut saja y′, sehingga gy(x)=⟨x,y′⟩. Karena tadi y kita pilih sebarang, berarti untuk setiap y∈V terdapat y′∈V secara tunggal sehingga
⟨T(x),y⟩=gy(x)=⟨x,y′⟩
Kita konstruksi T∗ sebagai T∗:V→V dengan T(y)=y′. Apakah T∗ linier? Ambil u,v∈V dan α∈F, kita punyai
⟨T(x),αu+v⟩=¯α⟨T(x),u⟩+⟨T(x),v⟩ Ruas kanan tersebut dapat kita tulis secara tunggal sebagai ¯α⟨x,u′⟩+⟨x,v′⟩. Dengan bilinearitas, kita dapatkan
⟨T(x),αu+v⟩=⟨x,αu′+v′⟩
Jadi, T∗(αu+v)=αT∗(u)+T∗(v). Kita dapatkan T∗ adalah pemetaan linier (dan karena ia memetakan dari V ke V, kita katakan T∗ operator linier).
Konstruksi tersebut menunjukkan eksistensi T∗. Telah dibuktikan pula bahwa T∗ linier. Sebagai konsekuensi dari konstruksinya (dan teorema 1), T∗ tunggal. Jadi, untuk operator linier T, ada operator linier T∗ secara tunggal yang memenuhi definisi operator adjoint. Dengan demikian, untuk sebarang operator linier T, operator adjointnya, T∗, ada. Dengan demikian kita selesai.
Sebelum menjawab pertanyaan tersebut, mari kita mulai dengan teorema berikut.
Teorema 1
Misalkan V ruang hasil kali dalam berdimensi hingga atas F dan g:V→F sebarang pemetaan linier. Ada suatu vektor tunggal y∈V sehingga g(x)=⟨x,y⟩
Bukti
Misalkan β={v1,v2,...,vn} basis ortonormal bagi V. Pilih y=∑ni=1¯g(vi)vi (catatan: ¯g(vi) adalah konjugat kompleks dari g(vi)).
Substitusi, kita dapatkan ⟨x,y⟩=⟨x,∑ni=1¯g(vi)vi⟩
Kita definisikan pemetaan linier h:V→F dengan h(x)=⟨x,y⟩. Akan ditunjukkan bahwa h linier. Ambil u,v∈V dan α∈F, kita punya h(αu+v)=⟨αu+v,y⟩. Dari bilinearitas hasil kali dalam, kita dapatkan h(αu+v)=α⟨u,y⟩+⟨v,y⟩=αh(u)+h(v). Jadi, h linier.
Berikutnya, akan ditunjukkan g=h. Cukup ditunjukkan g(vi)=h(vi) untuk setiap vi∈β. Tinjau h(vi) untuk i∈[1,n]. Kita punya h(vi)=⟨vi,∑nj=1¯g(vj)vj⟩. Karena β basis ortonormal, kita dapatkan h(vi)=⟨vi,¯g(vi)vi⟩=g(vi)⟨vi,vi⟩=g(vi). Jadi, h=g sehingga g(x)=⟨x,y⟩ untuk suatu y∈V (yang telah kita konstruksi sebelumnya). QED.
Teorema tersebut akan kita manfaatkan untuk membuktikan eksistensi dan ketunggalan operator adjoint. Pernyataan eksistensi dan ketunggalan tersebut akan kita tulis dalam teorema berikut
Teorema 2 (Eksistensi dan Ketunggalan Operator Adjoint)
Misalkan V suatu ruang hasil kali dalam berdimensi hingga atas F dan T suatu operator linier pada V, maka ada T∗ operator linier yang tunggal sehingga ⟨T(x),y⟩=⟨x,T∗(y)⟩ untuk setiap x,y∈V
Sebelum memberi bukti untuk teorema 2, kita definisikan dulu suatu pemetaan linier gy:V→F dengan gy(x)=⟨T(x),y⟩ untuk sebarang y∈V. Bukti bahwa gy adalah pemetaan linier diserahkan pada pembaca (toh buktinya serupa dengan bukti kelinieran g).
Bukti teorema 2
Dari teorema 1, kita tahu ada suatu vektor tunggal di V, sebut saja y′, sehingga gy(x)=⟨x,y′⟩. Karena tadi y kita pilih sebarang, berarti untuk setiap y∈V terdapat y′∈V secara tunggal sehingga
⟨T(x),y⟩=gy(x)=⟨x,y′⟩
Kita konstruksi T∗ sebagai T∗:V→V dengan T(y)=y′. Apakah T∗ linier? Ambil u,v∈V dan α∈F, kita punyai
⟨T(x),αu+v⟩=¯α⟨T(x),u⟩+⟨T(x),v⟩ Ruas kanan tersebut dapat kita tulis secara tunggal sebagai ¯α⟨x,u′⟩+⟨x,v′⟩. Dengan bilinearitas, kita dapatkan
⟨T(x),αu+v⟩=⟨x,αu′+v′⟩
Jadi, T∗(αu+v)=αT∗(u)+T∗(v). Kita dapatkan T∗ adalah pemetaan linier (dan karena ia memetakan dari V ke V, kita katakan T∗ operator linier).
Konstruksi tersebut menunjukkan eksistensi T∗. Telah dibuktikan pula bahwa T∗ linier. Sebagai konsekuensi dari konstruksinya (dan teorema 1), T∗ tunggal. Jadi, untuk operator linier T, ada operator linier T∗ secara tunggal yang memenuhi definisi operator adjoint. Dengan demikian, untuk sebarang operator linier T, operator adjointnya, T∗, ada. Dengan demikian kita selesai.
Komentar
Posting Komentar
-Mohon untuk tidak spam di komentar-