Eksistensi Operator Adjoint

Kalau di post sebelumnya telah dibahas tentang operator adjoint dan operator yang adjoint dengan diri sendiri, sekarang kita ingin bertanya: apakah operator adjoint itu ada? Dengan kata lain, untuk suatu operator (linier) T pada ruang hasil kali dalam V, apakah ada operator linier T sehingga T(x),y=x,T(y) untuk setiap x,yV?
Sebelum menjawab pertanyaan tersebut, mari kita mulai dengan teorema berikut.

Teorema 1
Misalkan V ruang hasil kali dalam berdimensi hingga atas F dan g:VF sebarang pemetaan linier. Ada suatu vektor tunggal yV sehingga g(x)=x,y

Bukti
Misalkan β={v1,v2,...,vn} basis ortonormal bagi V. Pilih y=ni=1¯g(vi)vi (catatan: ¯g(vi) adalah konjugat kompleks dari g(vi)).

Substitusi, kita dapatkan x,y=x,ni=1¯g(vi)vi

Kita definisikan pemetaan linier h:VF dengan h(x)=x,y. Akan ditunjukkan bahwa h linier. Ambil u,vV dan αF, kita punya h(αu+v)=αu+v,y. Dari bilinearitas hasil kali dalam, kita dapatkan h(αu+v)=αu,y+v,y=αh(u)+h(v). Jadi, h linier.

Berikutnya, akan ditunjukkan g=h. Cukup ditunjukkan g(vi)=h(vi) untuk setiap viβ. Tinjau h(vi) untuk i[1,n]. Kita punya h(vi)=vi,nj=1¯g(vj)vj. Karena β basis ortonormal, kita dapatkan h(vi)=vi,¯g(vi)vi=g(vi)vi,vi=g(vi). Jadi, h=g sehingga g(x)=x,y untuk suatu yV (yang telah kita konstruksi sebelumnya). QED.


Teorema tersebut akan kita manfaatkan untuk membuktikan eksistensi dan ketunggalan operator adjoint. Pernyataan eksistensi dan ketunggalan tersebut akan kita tulis dalam teorema berikut

Teorema 2 (Eksistensi dan Ketunggalan Operator Adjoint)
Misalkan V suatu ruang hasil kali dalam berdimensi hingga atas F dan T suatu operator linier pada V, maka ada T operator linier yang tunggal sehingga T(x),y=x,T(y) untuk setiap x,yV

Sebelum memberi bukti untuk teorema 2, kita definisikan dulu suatu pemetaan linier gy:VF dengan gy(x)=T(x),y untuk sebarang yV. Bukti bahwa gy adalah pemetaan linier diserahkan pada pembaca (toh buktinya serupa dengan bukti kelinieran g).

Bukti teorema 2
Dari teorema 1, kita tahu ada suatu vektor tunggal di V, sebut saja y, sehingga gy(x)=x,y. Karena tadi y kita pilih sebarang, berarti untuk setiap yV terdapat yV secara tunggal sehingga
T(x),y=gy(x)=x,y

Kita konstruksi T sebagai T:VV dengan T(y)=y. Apakah T linier? Ambil u,vV dan αF, kita punyai
T(x),αu+v=¯αT(x),u+T(x),v Ruas kanan tersebut dapat kita tulis secara tunggal sebagai ¯αx,u+x,v. Dengan bilinearitas, kita dapatkan
T(x),αu+v=x,αu+v
Jadi, T(αu+v)=αT(u)+T(v). Kita dapatkan T adalah pemetaan linier (dan karena ia memetakan dari V ke V, kita katakan T operator linier).

Konstruksi tersebut menunjukkan eksistensi T. Telah dibuktikan pula bahwa T linier. Sebagai konsekuensi dari konstruksinya (dan teorema 1), T tunggal. Jadi, untuk operator linier T, ada operator linier T secara tunggal yang memenuhi definisi operator adjoint. Dengan demikian, untuk sebarang operator linier T, operator adjointnya, T, ada. Dengan demikian kita selesai.

Komentar

Postingan Populer