Eksistensi Operator Adjoint

Kalau di post sebelumnya telah dibahas tentang operator adjoint dan operator yang adjoint dengan diri sendiri, sekarang kita ingin bertanya: apakah operator adjoint itu ada? Dengan kata lain, untuk suatu operator (linier) $T$ pada ruang hasil kali dalam $V$, apakah ada operator linier $T^*$ sehingga $$\langle T(x), y \rangle = \langle x, T^*(y) \rangle$$ untuk setiap $x,y \in V$?
Sebelum menjawab pertanyaan tersebut, mari kita mulai dengan teorema berikut.

Teorema 1
Misalkan $V$ ruang hasil kali dalam berdimensi hingga atas $F$ dan $g: V \rightarrow F$ sebarang pemetaan linier. Ada suatu vektor tunggal $y \in V$ sehingga $g(x) = \langle x,y \rangle$

Bukti
Misalkan $\beta = \{v_1, v_2, ..., v_n \}$ basis ortonormal bagi $V$. Pilih $y = \sum_{i=1}^n \overline{g(v_i)}v_i$ (catatan: $\overline{g(v_i)}$ adalah konjugat kompleks dari $g(v_i)$).

Substitusi, kita dapatkan $\langle x,y \rangle = \langle x, \sum_{i=1}^n \overline{g(v_i)}v_i \rangle$

Kita definisikan pemetaan linier $h: V \rightarrow F$ dengan $h(x) = \langle x,y \rangle$. Akan ditunjukkan bahwa $h$ linier. Ambil $u,v \in V$ dan $\alpha \in F$, kita punya $h(\alpha u + v) = \langle \alpha u + v, y \rangle$. Dari bilinearitas hasil kali dalam, kita dapatkan $h(\alpha u + v) = \alpha \langle u,y \rangle + \langle v,y \rangle = \alpha h(u) + h(v)$. Jadi, $h$ linier.

Berikutnya, akan ditunjukkan $g = h$. Cukup ditunjukkan $g(v_i) = h(v_i)$ untuk setiap $v_i \in \beta$. Tinjau $h(v_i)$ untuk $i \in [1,n]$. Kita punya $h(v_i) = \langle v_i, \sum_{j=1}^n \overline{g(v_j)}v_j \rangle$. Karena $\beta$ basis ortonormal, kita dapatkan $h(v_i) = \langle v_i, \overline{g(v_i)}v_i \rangle = g(v_i) \langle v_i, v_i \rangle = g(v_i)$. Jadi, $h = g$ sehingga $g(x) = \langle x,y \rangle$ untuk suatu $y \in V$ (yang telah kita konstruksi sebelumnya). QED.


Teorema tersebut akan kita manfaatkan untuk membuktikan eksistensi dan ketunggalan operator adjoint. Pernyataan eksistensi dan ketunggalan tersebut akan kita tulis dalam teorema berikut

Teorema 2 (Eksistensi dan Ketunggalan Operator Adjoint)
Misalkan $V$ suatu ruang hasil kali dalam berdimensi hingga atas $F$ dan $T$ suatu operator linier pada $V$, maka ada $T^*$ operator linier yang tunggal sehingga $\langle T(x), y \rangle = \langle x, T^*(y) \rangle$ untuk setiap $x,y \in V$

Sebelum memberi bukti untuk teorema 2, kita definisikan dulu suatu pemetaan linier $g_y : V \rightarrow F$ dengan $g_y(x) = \langle T(x), y \rangle$ untuk sebarang $y \in V$. Bukti bahwa $g_y$ adalah pemetaan linier diserahkan pada pembaca (toh buktinya serupa dengan bukti kelinieran $g$).

Bukti teorema 2
Dari teorema 1, kita tahu ada suatu vektor tunggal di $V$, sebut saja $y'$, sehingga $g_y(x) = \langle x, y' \rangle$. Karena tadi $y$ kita pilih sebarang, berarti untuk setiap $y \in V$ terdapat $y' \in V$ secara tunggal sehingga
$$\langle T(x), y \rangle = g_y(x) = \langle x, y' \rangle$$

Kita konstruksi $T^*$ sebagai $T^*: V \rightarrow V$ dengan $T(y) = y'$. Apakah $T^*$ linier? Ambil $u,v \in V$ dan $\alpha \in F$, kita punyai
$$\langle T(x), \alpha u + v \rangle = \overline{\alpha} \langle T(x), u \rangle + \langle T(x), v \rangle $$ Ruas kanan tersebut dapat kita tulis secara tunggal sebagai $\overline{\alpha}\langle x,u' \rangle + \langle x, v' \rangle$. Dengan bilinearitas, kita dapatkan
$$\langle T(x), \alpha u + v \rangle = \langle x, \alpha u' + v' \rangle$$
Jadi, $T^*(\alpha u + v) = \alpha T^*(u) + T^*(v)$. Kita dapatkan $T^*$ adalah pemetaan linier (dan karena ia memetakan dari $V$ ke $V$, kita katakan $T^*$ operator linier).

Konstruksi tersebut menunjukkan eksistensi $T^*$. Telah dibuktikan pula bahwa $T^*$ linier. Sebagai konsekuensi dari konstruksinya (dan teorema 1), $T^*$ tunggal. Jadi, untuk operator linier $T$, ada operator linier $T^*$ secara tunggal yang memenuhi definisi operator adjoint. Dengan demikian, untuk sebarang operator linier $T$, operator adjointnya, $T^*$, ada. Dengan demikian kita selesai.