Ideal, Bagian Pertama: Definisi dan Ideal pada Gelanggang Bilangan Bulat

Kita sudah mengenal gelanggang dan gelanggang bilangan bulat pada tulisan sebelumnya. Kali ini, kita akan membahas ideal pada gelanggang bilangan bulat.

Sebelumnya, perlu ditanyakan dahulu apa itu ideal. 

Definisi

Misal $R = (R, +, \times)$ suatu gelanggang. Suatu subhimpunan $I \subseteq R$ disebut ideal kiri (atau ideal kanan) bagi $R$ jika

• $(I,+)$ adalah subgrup bagi $(R,+)$
• Untuk setiap $x \in I$ dan $r \in R$ berlaku $rx \in I$ ($xr \in I$ untuk ideal kanan)

Jika $I$ adalah ideal kanan dan ideal kiri sekaligus, kita sebut $I$ sebagai ideal dua sisi. Jika konteks pembicaraannya jelas, kita sebut sebagai ideal (saja) untuk mempermudah. Pada tulisan ini, jika disebut ideal, yang dimaksud adalah ideal kiri (kecuali dikatakan sebaliknya). Hasil-hasil pada ideal kiri (umumnya) bisa diperluas juga ke ideal kanan.

Sebagai contoh, pada gelanggang $M_{2\times 2}(\mathbb{Z})$ subhimpunan $I = \left\{ \begin{bmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{bmatrix}: a, b \in \mathbb{Z} \right\}$ adalah ideal kiri, tetapi bukan ideal kanan (silahkan anda periksa)

Untuk contoh lainnya, silahkan anda cari semua ideal bagi gelanggang $\mathbb{Z}_{31}$.

Memeriksa syarat ideal tersebut dapat dipermudah. Idenya serupa dengan mengecek subgrup dari suatu grup. Kita punya teorema berikut:

Teorema 1
Misal $I \subseteq R$ tak kosong dan $R$ adalah suatu gelanggang. $I$ adalah ideal kiri (ideal kanan) jika dan hanya jika

• Untuk setiap $a,b \in I$ berlaku $a + b \in I$
• $ra \in I$ ($ar \in I$) untuk setiap $a \in I, r \in R$

Untuk buktinya, implikasi ke arah kanan jelas. Untuk ke arah kiri, karena $R$ suatu gelanggang, jelas $0 \in R$. Ambil sebarang $x \in I$ sehingga $0 \times x = 0 \in I$. Jadi kita dapatkan $0$ anggota $I$.

Berikutnya, karena $R$ gelanggang, jelas $1 \in R$ (di sini kita kaji gelanggang dengan unsur kesatuan, yakni $1 \ne 0$). Akibatnya haruslah $-1 \in R$. Ambil $x \in I$ sehingga $-1 \times x = -x \in I$ (silahkan anda buktikan dahulu $-1 \times x = -x$). Jadi, $-x \in I$ untuk setiap $x \in I$. Kita dapatkan $(I,+)$ subgrup $(R,+)$. Fakta ini, ditambah poin kedua, mengakibatkan $I$ adalah ideal, yang itulah yang ingin kita tunjukkan. $\blacksquare$

Kemudian kita akan ke menu utama. Tinjau gelanggang bilangan bulat $\mathbb{Z}$. Kita akan punya teorema berikut

Teorema 2

$I$ adalah ideal dari $\mathbb{Z}$ jika dan hanya jika $I = n\mathbb{Z}$ untuk suatu $n \in \mathbb{Z}$

Sebelum membahas buktinya, ingat kembali bahwa $n\mathbb{Z} = \{ ..., -2n, -n, 0, n, 2n, ... \}$. Sebagai contoh, $2\mathbb{Z} = \{ ..., -4, -2, 0, 2, 4, ... \}$

Dengan melihat contoh tersebut, bukti pernyataan ke arah kiri mudah dan saya sarankan pembaca untuk mencoba membuktikannya (gunakan bantuan teorema 1).

Untuk pernyataan ke arah kanan, kita akan tinjau dulu dua ideal: ideal nol $\{0\}$ dan seluruh $\mathbb{Z}$. Untuk keduanya, pilih masing-masing $n = 0$ dan $n = 1$ sehingga kedua ideal tersebut berbentuk $n\mathbb{Z}$. Untuk sebarang ideal $I$ lainnya, pertama pilih $n$ sebagai suatu unsur positif terkecil di $I$ (well-ordering menjamin eksistensi $n$). Akibatnya, jelas $n\mathbb{Z} \subseteq I$

Berikutnya, ambil sebarang $x \in I$. Dengan algoritma pembagian, kita dapat tuliskan $x$ sebagai $$x = pn + q$$ untuk suatu $p,q \in \mathbb{Z}$ dengan $0 \le q \le n-1$.

Perhatikan bahwa karena $x \in I$, haruslah $x - pn \in I$ (mengapa?) sehingga haruslah $q \in I$. Karena tadi kita pilih $n$ unsur positif terkecil di $I$, haruslah $q = 0$. Kita dapatkan $x = pn$, suatu kelipatan dari $n$. Akibatnya, $I \subseteq n\mathbb{Z}$

Karena $I \subseteq n\mathbb{Z}$ dan $n\mathbb{Z} \subseteq I$, kita simpulkan $I = n\mathbb{Z}$

Karena implikasi kedua arah benar, kita simpulkan teorema tersebut benar. $\blacksquare$

Sebagai tantangan tambahan, silahkan anda periksa kebenaran pernyataan berikut: $I$ ideal bagi $\mathbb{Z}_p$ untuk $p$ prima jika dan hanya jika $I = \{ 0 \}$ atau $I = \mathbb{Z}_p$ (hint: lihat gambar di atas, salah satu kalimatnya adalah hintnya)