Proyeksi dan Proyeksi Ortogonal

Anda mungkin pernah mengenal gambaran geometris dari proyeksi seperti ini

Di sini, kita bisa pandang transformasi sebagai suatu transformasi atau pemetaan linear yang memetakan suatu vektor $u$ ke vektor $u'$. Untuk contoh yang digambarkan di atas, kita dapat tuliskan transformasinya sebagai $$T: \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}$$. Dalam hal ini, transformasi kita memetakan vektor dari ruang vektor $\mathbb{R}^2$ ke subruang dari $\mathbb{R}^2$, sebut saja $V = \left\{ \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} : x \in \mathbb{R}\right\}$.

Beberapa observasi di sini:
Pertama, dapat dengan mudah kita lihat bahwa Peta($T$) adalah $V$. Bagaimana dengan inti/kernelnya? Dengan kata lain, vektor apa saja di $\mathbb{R}^2$ yang dipetakan ke vektor nol? Jelas vektor nol akan ada di dalam Inti($T$) karena $T$ adalah suatu pemetaan linear. Kemudian, mudah dilihat bahwa semua vektor yang berbentuk $\begin{pmatrix} 0 \\ x \end{pmatrix}$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}$ akan dipetakan ke nol. Kita klaim bahwa hanya vektor yang berbentuk seperti itu saja yang akan dipetakan ke nol.

Bukti:
Misalkan $v$ suatu vektor di $\mathbb{R}^2$ sedemikian sehingga $T(v) = 0$ (0 di sini menandakan vektor nol). Tulis $v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$. Kita dapat $T(v) = \begin{pmatrix} v_1\\ 0 \end{pmatrix}$. Agar $T(v) = 0$, haruslah $v_1 = 0$ sehingga hanya vektor berbentuk $\begin{pmatrix} 0 \\ x \end{pmatrix}$ sajalah yang dipetakan ke nol. Jadi, Inti($T$) = $\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ x \end{pmatrix}: x \in \mathbb{R} \right\}$.

Observasi lain adalah bahwa kita dapat menulis setiap vektor di $\mathbb{R}^2$ sebagai jumlahan suatu vektor di $V$ dan vektor lainnya di Inti($T$). Misalkan $v \in \mathbb{R}^2$. Tulis $v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$. Perhatikan bahwa $T(v) = \begin{pmatrix} v_1 \\ 0 \end{pmatrix}\in $ Peta($T$) dan $v =  \begin{pmatrix} v_1 \\ 0 \end{pmatrix} +  \begin{pmatrix} 0 \\ v_2 \end{pmatrix}$.

Dari observasi-observasi yang telah dilakukan, kita ingin untuk mendefinisikan proyeksi secara lebih umum dan rigorous. Namun sebelum kita melakukan itu, kita akan butuh satu tool lagi yang akan sangat membantu kita dalam pendefinisiannya.

Definisi (Jumlah langsung)
Misalkan $V$ suatu ruang vektor atas lapangan $F$ dan $W_1, W_2$ subruang $V$. Kita katakan $V = W_1 \oplus W_2$ jumlah langsung dari subruang $W_1$ dan $W_2$ jika $W_1 \cap W_2 = \{ 0 \}$ dan untuk setiap $v \in V$ terdapat $w_1 \in W_1$ dan $w_2 \in W_2$ sehingga $v = w_1 + w_2$

Yang membedakan jumlah langsung dari jumlah biasa antara dua subruang adalah syarat irisan dua subruang hanya berisi vektor nol saja menjamin bahwa kita dapat mendekomposisi suatu vektor di $V$ sebagai jumlahan suatu vektor di $W_1$ dan $W_2$ secara tunggal. Fakta ini saya serahkan pada pembaca untuk membuktikannya.

Dengan menggunakan alat tersebut, kita siap untuk mendefinisikan apa itu proyeksi secara rigorous.

Definisi (Proyeksi)
Misalkan V suatu ruang vektor dan $U,W$ subruang $V$. Kita katakan $T: V \rightarrow V$ suatu proyeksi pada $U$ sepanjang $W$ jika $V = U \oplus W$ dan untuk setiap $v \in V$, $v = u + w$, $u \in U$, $w \in W$ berlaku $T(v) = u$.

Klaim: $U = $ Peta($T$) dan $W = $ Inti($T$).
Bukti:
Kita akan buktikan $W = $ Inti($T$) saja. Sisanya serupa dan diserahkan pada pembaca.
Pertama, akan ditunjukkan dahulu bahwa $W \subseteq $ Inti($T$). Ambil sebarang $w \in W$. Karena $w \in W \subseteq V$, tulis $w = 0 + w$ sebagai dekomposisi $0 \in V$ dan $w \in W$. Kita dapatkan $0 = T(w) = T(0 + w) = T(0) + T(w) = 0 + T(w)$ sehingga haruslah $T(w) = 0$. Jadi, $W \subseteq $ Inti($T$).

Arah sebaliknya, misal $x \in V$ sehingga $T(x) = 0$. Kita tulis $x = \alpha + \beta$ dengan $\alpha \in U$ dan $\beta \in W$. Kita punyai $0 = T(x) = T(\alpha + \beta)$. Dari definisi proyeksi, kita dapatkan $\alpha = 0$ sehingga Inti($T$) $\subseteq W$. Dengan demikian, kita simpulkan Inti($T$) $= W$.

Suatu sifat lain dari proyeksi adalah berlaku $T^2 = T$. Beberapa referensi menjadikan sifat ini sebagai definisi dari proyeksi kemudian membuktikan definisi yang diberikan sebelumnya sebagai suatu teorema. Hal ini tidak menjadi masalah; kita bisa buktikan sifat tersebut dengan menggunakan definisi yang kita buat. Dengan demikian, kedua definisi tersebut ekuivalen. Kita akan buktikan dalam teorema berikut

Teorema
Misal $T: V \rightarrow V$ suatu proyeksi pada $U$ sepanjang $W$. Berlaku $T^2 = T$.

Bukti:
Ambil $v \in V$. Tulis $v = u + w$ untuk $u \in U$ dan $w \in W$. Kita dapatkan
$T(v) = T(u + w) = u$ dan $T(T(v)) = T(u) = u$. Jadi, $T^2 = T$.

Sebagai latihan, anda dapat mencoba membalik prosesnya. Dengan kata lain, cobalah anda periksa bahwa setiap pemetaan $T: V \rightarrow V$ yang memenuhi $T^2 = T$ mengakibatkan $V = $ Peta($T$) $\oplus$ Inti($T$).

Perhatikan bahwa kita sama sekali tidak membicarakan tentang keortogonalan sejak awal. Akan tetapi, proyeksi yang biasa kita kenal (seperti yang dicontohkan pada gambar di atas) adalah suatu proyeksi ortogonal. Untuk membahas proyeksi ortogonal, kita perlu menambahkan struktur lagi pada ruang vektor kita, yaitu dengan mendefinisikan hasil kali dalam. Saya tidak akan bahas lebih detail tentang apa itu hasil kali dalam, tetapi saya akan membahas tentang komplemen ortogonal.

Definisi
Misalkan $(V, \langle \cdot , \cdot \rangle)$ suatu ruang hasil kali dalam dan $S \subseteq V$ (tidak harus subruang). Komplemen ortogonal dari $S$ didefinisikan sebagai
$$S^{\perp} = \{ v \in V \, | \, \langle u,v \rangle = 0 \, \forall u \in S \}$$

Dapat diperiksa bahwa $S^{\perp}$ membentuk subruang dari $V$ (silahkan anda periksa). Sebelum kita membahas proyeksi ortogonal, kita akan buktikan dahulu teorema berikut:

Teorema
Misal $V$ ruang hasil kali dalam berdimensi hingga dan $K$ suatu subruang bagi $V$. Berlaku
$$V = K \oplus K^{\perp}$$

Bukti:
Misalkan $E = \{e_1, e_2, ..., e_k \}$ suatu basis ortonormal bagi $K$. Ambil sebarang $v \in V$. Kita dapatkan $$u = \sum_{i = 1}^k \langle v, e_i \rangle e_i$$ ada di $K$ (karena $u$ adalah kombinasi linear vektor-vektor di $E$). Klaim: $v - u$ ortogonal terhadap setiap vektor $e_i$ (saya serahkan pada pembaca untuk membuktikan klaim ini). Akibatnya, $v - u \in E^{\perp} = K^{\perp}$. Tulis $v - u = x$. Dengan menyusun ulang, kita dapatkan $v = u + x$ dengan $u \in K$ dan $x \in K^{\perp}$. Jadi, $V = K + K^{\perp}$.

Kemudian, kita hanya perlu membuktikan bahwa $K \cap K^{\perp} = \{0 \}$. Kita tahu irisannya tak mungkin kosong (minimal ada vektor nol), jadi kita bisa ambil sebarang $x \in K \cap K^{\perp}$. Dari definisi hasil kali dalam, agar $\langle x, x \rangle = 0$, haruslah $x = 0$. Jadi, $K \cap K^{\perp} = \{0 \}$. Kita dapatkan $V = K \oplus K^{\perp}$ dan dengan demikian kita selesai.


Sekarang kita bisa mendefinisikan suatu proyeksi ortogonal.

Definisi (Proyeksi Ortogonal)
Misal $V$ suatu ruang hasil kali dalam berdimensi hingga dengan $K$ subruang $V$. Suatu proyeksi ortogonal pada $K$ adalah proyeksi pada $K$ sepanjang $K^{\perp}$.

Dengan memanfaatkan definisi proyeksi, dapat kita lihat bahwa untuk suatu proyeksi ortogonal $P$ berlaku $($Peta($P$))$^{\perp} = $ Inti($P$).

Pada tulisan lain, saya telah membahas tentang operator adjoint dan self-adjoint. Akan ditunjukkan bahwa proyeksi ortogonal adalah suatu operator self-adjoint.

Teorema
Misalkan $P$ suatu proyeksi ortogonal, maka $P$ adalah suatu operator yang adjoin dengan dirinya sendiri.

Bukti: Misal $u, v \in V$. Kita bisa tulis $v = v_1 + v_2$ dan $u = u_1 + u_2$ dengan $u_1, v_1 \in $Peta($P$) dan $u_2, v_2 \in$ Inti($P$). Dari definisi proyeksi, kita dapatkan $P(u) = u_1$. Kita dapatkan
$\langle P(u), v \rangle = \langle u_1, v_1 + v_2 \rangle = \langle u_1,v_1 \rangle + \langle u_1,v_2 \rangle$.
Karena $v_2 \in $ Inti($P$) dan $($Peta($P$))$^{\perp} = $ Inti($P$), kita dapatkan
$\langle u_1, v_1 + v_2 \rangle = \langle u_1,v_1 \rangle$ dan dengan argumen serupa kita dapatkan $\langle u_1,v_1 \rangle = \langle u_1 + u_2 ,v_1 \rangle = \langle u,P(v) \rangle$

Jadi $P$ adjoin dengan dirinya sendiri.

Sifat penting lainnya yang masih berkaitan adalah konvers dari teorema di atas (yakni, operator yang adjoin dengan dirinya sendiri adalah suatu proyeksi ortogonal). Saya tidak akan mencuri kesenangan anda untuk mencoba membuktikan sendiri sifat tersebut ;)