Hasil Kali Tensor (Bagian 1)

Misalkan kita punya dua buah ruang vektor atas lapangan $F$, sebut saja $V$ dan $W$. Kita bisa membentuk ruang vektor baru dengan beberapa cara. Salah satunya yang biasa kita kenali adalah dengan mengambil jumlah langsung $V \oplus W$ dengan setiap unsur di $V \oplus W$ berbentuk $v + w$ untuk suatu $v \in V$ dan $w \in W$. Observasi sederhana (kalau anda belum pernah mencobanya, saya sarankan anda untuk melakukannya) menunjukkan pada kita bahwa $$\textrm{dim}(V \oplus W) = \textrm{dim}(V) + \textrm{dim}(W)$$Padahal secara himpunan pembentuknya, kita bisa memandang ruang vektor $V \oplus W$ seperti himpunan dari pasangan terurut $(v,w)$ yang memiliki kardinalitas $|V \times W| = |V||W|$. Kalaupun kita ingin membuat ruang vektor dengan himpunan pembentuknya adalah $V \times W$, kita akan dapatkan $\{ (v_i, 0), (0, w_j) \, | \, v_i \in V, w_j \in W \}$ membentuk basis bagi $V \times W$. Mudah dilihat bahwa dimensinya juga adalah $\textrm{dim}(V) + \textrm{dim}(W)$. Bisakah kita menkonstruksi suatu operasi sehingga kita bisa membangun ruang vektor baru dengan dimensi $\textrm{dim}(V)\textrm{dim}(W)$?

Untuk sekarang, kita akan tinjau dahulu himpunan pembentuk ruang vektornya, bukan ruang vektornya. Tinjau $V \times W$, bisakah himpunan tersebut kita ubah sedemikian rupa sehingga kita bisa membentuk suatu ruang vektor darinya? Salah satu pendekatan yang bisa kita lakukan adalah dengan meninjau ruang vektor lain, sebut saja $P$ sehingga kita bisa membuat pemetaan (kanonik) dari $V \times W$ ke ruang vektor baru kita dan kemudian dari ruang vektor baru tersebut kita buat pemetaan linear ke P. Sementara kita notasikan dahulu ruang vektor baru tersebut sebagai $X$, kita ingin (purwarupa) diagram berikut komutatif:

(catatan: diagram ini belum lengkap! -- kita belum mendefinisikan pemetaan yang ada pada diagram tersebut. Nanti kita akan lengkapi)

Pemetaan seperti apa sih dari $V \times W$ ke $P$? Perhatikan bahwa unsur-unsur di $V \times W$ adalah pasangan terurut $(v,w)$. Kita bisa membuat pemetaan, sebut saja $\varphi : V \times W \rightarrow P$ dengan $(v,w) \mapsto \varphi(v,w)$. Kita ingin propertinya semirip mungkin dengan pemetaan linear. Namun, jadinya seperti apa kalau dua peubah begitu? Mari kita tinjau tools berikut:

Definisi
Misal $A, B$ ruang vektor atas $F$. Suatu pemetaan $f: A \times B \rightarrow C$ dikatakan bilinear jika $f$ linear di $A$ dan di $B$. Dengan kata lain, untuk sebarang $k \in F$ dan $a_1, a_2 \in A, b_1, b_2 \in B$ berlaku
$$f(ka_1 + a_2, b_1) = k(f(a_1,b_1)) + f(a_1, b_1)$$
$$f(a_1, kb_1 + b_2) = k(f(a_1, b_1)) + f(a_1, b_2)$$

Nah, misalkan kita buat pemetaan $\varphi$ bilinear. Lalu apa? Langkah lainnya adalah kita ingin membuat pemetaan dari $X$ ke $P$, notasikan dengan $\tilde{\varphi}$, menjadi pemetaan linear. Kemudian, kita bisa buat pemetaan lain untuk menghubungkan $V \times W$ dengan $X$. Notasikan dengan $\alpha$.

Agar diagramnya komutatif, kita perlukan $\varphi(m,n) = \tilde\varphi(\alpha(m,n))$. Mari kita manfaatkan kebilinearan $\varphi$. Ambil $k \in F, v_1, v_2 \in V, w_1 \in W$. Kita punyai

$$\varphi(kv_1 + v_2, w_1) = \varphi(k v_1, w_1) + \varphi(v_2, w_1) = \tilde\varphi(\alpha(kv_1, w_1)) + \tilde\varphi(\alpha(v_2, w_1))$$

Karena $\tilde\varphi$ linear, kita punyai
$$\varphi(kv_1 + v_2, w_1) = \tilde\varphi(\alpha(kv_1, w_1) + \alpha(v_2, w_1))$$

Padahal $\varphi(kv_1 + v_2, w_1) = \tilde\varphi(\alpha(kv_1 + v_2, w_1))$ sehingga

$$\tilde\varphi\left(\alpha(kv_1 + v_2, w_1)\right) = \tilde\varphi\left(\alpha(kv_1, w_1) + \alpha(v_2, w_1)\right)$$

Dengan cara serupa kita bisa dapatkan juga
$$\tilde\varphi\left(\alpha(v_1,kw_1+w_2)\right) = \tilde\varphi\left(\alpha(v_1, kw_1) + \alpha(v_1, w_2)\right)$$

Nah, properti seperti apa yang bisa kita berikan pada $\alpha$ agar $\varphi$ menjadi segeneral mungkin (kita tidak usah asumsikan dia satu-satu, atau lainnya)? Sederhana saja. Kita bisa membuat agar $\alpha(kv_1+v_2,w) = \alpha(kv_1,w) + \alpha(v_2,w)$ dan $\alpha(v, kw_1 + w_2) = k \alpha(v,w_1) + \alpha(v,w_2)$. Untuk itu, mari kita reveal hal besar berikut:

Definisi
Misal $V, W$ ruang vektor atas $F$. Notasikan $V \otimes W$ sebagai hasil kali tensor dari $V$ dan $W$ dengan himpunan pembentuk $V \otimes W = \{ v \otimes w \, | \, v \in V, w \in W\}$ dan $v \otimes w$ memenuhi untuk setiap $k \in F$, $v_1, v_2 \in V$, $w_1, w_2 \in W$ berlaku

• $(kv_1 + v_2) \otimes w_1 = k(v_1 \otimes w_1) + (v_2 \otimes w_1)$
• $v_1 \otimes (kw_1 + w_2) = k(v_1 \otimes w_1) + (v_1 \otimes w_2)$
• $k v\otimes w = v \otimes kw$ (dengan demikian kita bisa pisahkan $k$ ke depan)

Dengan ini, kita bisa tuliskan $X = V \otimes W$ dan $\alpha$ adalah pemetaan kanonik $(v,w) \mapsto v \otimes w$. Unsur $v \otimes w$ kemudian kita sebut sebagai tensor murni (pure tensor).

Kita bisa mengaitkan hasil kali tensor ini dengan pemetaan bilinear yang sudah kita kenal. Misalkan $V,W,P$ ruang vektor atas $F$ dan $\psi:V \times W \rightarrow P$ suatu pemetaan bilinear, maka ada pemetaan linear yang tunggal $\tilde\psi: V \otimes W \rightarrow P$ sehingga diagram berikut komutatif

Sebagai latihan, coba anda periksa bahwa untuk $V,W$ suatu ruang vektor atas $F$ berlaku $V \otimes W \simeq W \otimes V$ dan $V \otimes F \simeq V$.

Kemudian terkait dimensi dari ruang vektor $V \otimes W$, misalkan $\{ v_i \}$ himpunan basis dari $V$ dan $\{ w_j \}$ himpunan basis dari W, maka $ \{ v_i \otimes w_j \}$ adalah basis bagi $V \otimes W$ (silahkan periksa) sehingga $\textrm{dim}(V\otimes W) = \textrm{dim}(V)\textrm{dim}(W)$, sesuai dengan yang kita inginkan.

Kita cukupkan dahulu bahasan terkait hasil kali tensor sampai sini. Berikutnya, kita akan membahas terkait ruang dual dari suatu ruang vektor dan kemudian mengaitkannya dengan hasil kali tensor.