Polinom dan Fungsi Polinom
Ada sedikit hal yang menarik ketika membahas tugas struktur aljabar beberapa waktu lalu. Soalnya sederhana, apabila $D$ suatu daerah integral, apakah gelanggang polinom $D[x]$ juga daerah integral?
Jawabannya adalah iya (silahkan anda coba jawab kenapa 😄). Namun, coba anda tinjau $D = \mathbb{Z}_2$. Pada gelanggang polinom $\mathbb{Z}_2[x]$, jelas bahwa $x$ dan $x+1$ keduanya bukan polinom nol. Namun, perhatikan bahwa polinom $x(x+1) = x^2 + x$ jika disubstitusi dengan $0$ atau $1$ akan menghasilkan $0$. Padahal, $D[x]$ harusnya daerah integral. Apa yang terjadi di sini?
Di sinilah kita harus membedakan mana yang kita sebut sebagai polinom dan mana yang kita sebut sebagai fungsi polinom. Mungkin kita bisa tinjau kembali apa makna dari notasi $D[x]$ pada gelanggang polinom. Untuk lebih umumnya, misalkan $R$ adalah gelanggang dan $a$ suatu unsur. Kita dapat membangun gelanggang baru $R[a] = \{ r_1 + ar_2 + a^2r_3 + \ldots \, \lvert \, r_i \in R\}$. Sebagai contoh lain, kita bisa lihat bahwa $\mathbb{Z}[i] = \{x + iy \, \lvert \, x,y \in \mathbb{Z} \}$. Jadi, gelanggang $D[x]$ sejatinya isinya hanyalah kombinasi linear antara unsur-unsur $D$ dengan $x,x^2,x^3,\ldots$. Kita tidak bicara apa-apa tentang substitusi. Suatu polinom sejatinya hanyalah kombinasi linear tersebut (atau bahasa kasarnya, just a bunch of coefficients and indeterminates glued together)
Lalu, ketika kita melakukan substitusi tadi itu apa sih sebenarnya yang dilakukan?
Di sinilah bedanya antara polinom dan fungsi polinom. Suatu fungsi polinom dengan polinom dari $R[x]$ adalah pemetaan dari $R[x]$ ke $T$ dengan hubungan $\Phi: x \mapsto t$ dan ada suatu homomorfisma gelanggang $\phi$ dari $R$ ke $T$ sedemikian sehingga untuk inklusi $\pi: R \rightarrow R[x]$ berlaku $\Phi \circ \pi = \phi$ (biasanya ini disajikan dalam diagram komutatif, tapi saya lagi malas buatnya lol)
Dalam kasus ini, ketika kita meninjau polinom $x^2 + x$ sebagai suatu fungsi polinom dari $\mathbb{Z}_2[x]$ ke $\mathbb{Z}_2$, memang benar bahwa ia adalah pemetaan nol (sehingga dalam konteks ini, memang sama dengan polinom nol)
Jawabannya adalah iya (silahkan anda coba jawab kenapa 😄). Namun, coba anda tinjau $D = \mathbb{Z}_2$. Pada gelanggang polinom $\mathbb{Z}_2[x]$, jelas bahwa $x$ dan $x+1$ keduanya bukan polinom nol. Namun, perhatikan bahwa polinom $x(x+1) = x^2 + x$ jika disubstitusi dengan $0$ atau $1$ akan menghasilkan $0$. Padahal, $D[x]$ harusnya daerah integral. Apa yang terjadi di sini?
Di sinilah kita harus membedakan mana yang kita sebut sebagai polinom dan mana yang kita sebut sebagai fungsi polinom. Mungkin kita bisa tinjau kembali apa makna dari notasi $D[x]$ pada gelanggang polinom. Untuk lebih umumnya, misalkan $R$ adalah gelanggang dan $a$ suatu unsur. Kita dapat membangun gelanggang baru $R[a] = \{ r_1 + ar_2 + a^2r_3 + \ldots \, \lvert \, r_i \in R\}$. Sebagai contoh lain, kita bisa lihat bahwa $\mathbb{Z}[i] = \{x + iy \, \lvert \, x,y \in \mathbb{Z} \}$. Jadi, gelanggang $D[x]$ sejatinya isinya hanyalah kombinasi linear antara unsur-unsur $D$ dengan $x,x^2,x^3,\ldots$. Kita tidak bicara apa-apa tentang substitusi. Suatu polinom sejatinya hanyalah kombinasi linear tersebut (atau bahasa kasarnya, just a bunch of coefficients and indeterminates glued together)
Lalu, ketika kita melakukan substitusi tadi itu apa sih sebenarnya yang dilakukan?
Di sinilah bedanya antara polinom dan fungsi polinom. Suatu fungsi polinom dengan polinom dari $R[x]$ adalah pemetaan dari $R[x]$ ke $T$ dengan hubungan $\Phi: x \mapsto t$ dan ada suatu homomorfisma gelanggang $\phi$ dari $R$ ke $T$ sedemikian sehingga untuk inklusi $\pi: R \rightarrow R[x]$ berlaku $\Phi \circ \pi = \phi$ (biasanya ini disajikan dalam diagram komutatif, tapi saya lagi malas buatnya lol)
Dalam kasus ini, ketika kita meninjau polinom $x^2 + x$ sebagai suatu fungsi polinom dari $\mathbb{Z}_2[x]$ ke $\mathbb{Z}_2$, memang benar bahwa ia adalah pemetaan nol (sehingga dalam konteks ini, memang sama dengan polinom nol)
Komentar
Posting Komentar
-Mohon untuk tidak spam di komentar-