Ideal Prima pada Gelanggang Boolean

Soal ini merupakan salah satu soal pada ujian 3 struktur aljabar semester ganjil tahun 2019/2020 di Matematika ITB.

Definisikan $R$ sebagai suatu gelanggang Boolean jika untuk setiap $x \in R$ berlaku $x = x^2$. Jika $R$ gelanggang Boolean, tunjukkan bahwa setiap ideal prima di $R$ adalah ideal maksimal.



Pertama, sedikit observasi. Misalkan $R$ gelanggang Boolean dan $x \in R$. Berarti, $x = x^2$. Menjumlahkan kedua ruas dengan $-x$, kita dapatkan $x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$. Andaikan $x$ bukan pembagi nol, haruslah $x = 0$ atau $x = 1$. Perhatikan bahwa kontraposisi dari pernyataan tersebut adalah "Jika $x \ne 0$ dan $x \ne 1$ maka $x$ adalah pembagi nol".

Observasi berikutnya adalah dengan meninjau $(x+y)^2$ kita dapatkan $x+y = (x+y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2 = x + y + xy + yx$. Akibatnya, kita punyai $xy + yx = 0$. Namun, perhatikan bahwa karena $x = x^2$ kita dapatkan pula $-x = (-x)^2 = x^2 = x$ sehingga $xy + yx = 0 \implies xy = yx$. Jadi, $R$ komutatif.

Sekarang, misalkan $I$ adalah suatu ideal prima di $R$. Perhatikan bahwa gelanggang kuosien $R/I$ membentuk suatu daerah integral. Berarti, $R/I$ tidak mengandung pembagi nol. Karena unsur yang bukan pembagi nol di $R$ hanyalah nol dan satu dan jelas bahwa satu adalah unit, kita punyai $R/I$ sebuah lapangan. Karena $R/I$ lapangan, haruslah $I$ suatu ideal maksimal. Dengan demikian kita selesai.