Kernel dan Kokernel Pada Kategori Aditif dan Kategori Abel

Teori kategori seringkali dilabeli sebagai abstract nonsense. Label ini tidak selalu bermakna negatif, dalam teori kategori seringkali kita tidak membicarakan tentang objeknya, tetapi lebih kepada hubungan antar objeknya. Kali ini kita akan membahas salah satu konstruksi dalam teori kategori untuk memperumum konsep yang sudah biasa dikenal, yakni kernel dari suatu pemetaan.

Sebelumnya, mari kita definisikan dahulu kategori tempat kita bekerja.

Definisi 1. (Kategori Aditif)

Suatu kategori $C$ disebut kategori aditif apabila untuk setiap $A,B$ objek di $C$ berlaku Mor($A,B$) membentuk grup abel dengan operasi penjumlahan morfisma serta komposisi pemetaannya bilinear dan memenuhi

1. Terdapat objek nol di $C$, yakni objek yang inisial sekaligus final (up to isomorfisma)
2. Hasil kali dan koproduk hingga di $C$ ada

Tentunya tidak semua kategori merupakan kategori aditif. Contoh sederhananya adalah kategori $\mathbf{Set}$ (tidak punya objek nol). Beberapa contoh dari kategori aditif adalah kategori modul kiri atas $R$ ($\mathbf{RMod}$) dan kategori grup abel $\mathbf{Ab}$.

Pada kategori aditif, penjumlahan dan pengurangan morfisma memiliki arti. Dengan demikian, kita bisa definisikan dua buah morfisma $\alpha, \beta \in \text{Mor}(A,B)$ sama apabila $\alpha - \beta = 0$. Seringkali koleksi morfisma pada kategori aditif dinotasikan sebagai $\mathbf{Hom}$, yakni homomorfisma, karena morfismanya mempertahankan struktur grup abelnya.

Dengan adanya konsep objek nol (dan morfisma nol), kita bisa konstruksikan generalisasi untuk konsep kernel beserta dualnya, yakni kokernel.

Definisi 2. (Kernel dan Kokernel)

Misalkan $C$ kategori aditif dengan $A,B$ objek di $C$ serta $\phi \in \text{Mor}(A,B)$. Suatu morfisma $\iota \in \text{Mor}(K,A)$ dikatakan sebagai kernel dari $\phi$ apabila $\phi \circ \iota = 0$ dan untuk setiap morfisma $\zeta \in \text{Mor}(Z,A)$ dengan $\phi \circ \zeta = 0$ terdapat secara tunggal $\hat{\zeta}\in \text{Mor}(Z,K)$ sehingga diagram berikut komutatif:

dan seperti biasa dalam teori kategori kita bisa membalik panahnya untuk mendefinisikan konsep dualnya, yang dalam hal ini adalah kokernel, dengan diagram berikut

di sini kokernelnya adalah morfisma $\pi$.

Bentuk konkret dari kernel pada kategori modul adalah morfisma penyisipan dari kernel yang biasa kita kenal ke daerah asal morfismanya sedangkan untuk kokernel bagi suatu homomorfisma $f: A \rightarrow B$ pada kategori modul adalah surjeksi dari $B$ ke $B/\text{Peta}(f)$.

Perhatikan bahwa di sini kernel dan kokernel didefinisikan sebagai suatu morfisma, bukan suatu objek. Lagi-lagi, dalam teori kategori kita akan lebih banyak meninjau tentang hubungan antar objek dibandingkan objeknya itu sendiri. Untuk itu juga kita tidak akan menggunakan konsep "injektif" atau "surjektif". Kita akan gunakan konsep "monomorfisma" dan "epimorfisma" sebagai gantinya.

Teorema 1

Pada kategori aditif, kernel adalah suatu monomorfisma dan kokernel adalah suatu epimorfisma

Bukti: Akan dibuktikan yang kernel saja, yang kokernel serupa (silahkan dicoba sendiri).

Misalkan $\phi \in \text{Mor}(A,B)$ suatu morfisma di suatu kategori aditif $C$ dan misalkan $\ker \phi \in \text{Mor}(K,A)$ kernel dari $\phi$. Misalkan $\hat{\zeta} \in \text{Mor}(Z,K)$ suatu morfisma sehingga $\ker \phi \circ \hat{\zeta} = 0$ dan memenuhi diagram di atas. Kita punyai $\ker \phi \circ \hat{\zeta} = 0 = \ker \phi \circ 0 $, dari ketunggalan, haruslah $\hat{\zeta} = 0$ sehingga $\ker \phi$ adalah suatu monomorfisma. QED.

Perhatikan bahwa pada kategori aditif, kernel dan kokernel belum tentu ada. Sebagai contoh, kategori $\mathbf{Rmod}$, yakni modul atas $R$ yang dibangun secara hingga, tidak memiliki kernel karena secara umum submodul dari suatu modul yang dibangun berhingga unsur belum tentu dibangun berhingga unsur (misalnya, tinjau ideal dari $R$ sebagai submodul $R$ sebagai $R$-modul dengan $R$ adalah gelanggang yang tidak Noether). Lalu bagaimana kalau kita ingin menjamin eksistensi dari kernel dan kokernel ketika bekerja dengan suatu kategori? Di sinilah ide tentang kategori abel dicetuskan. Namun sebelumnya, mari kita tinjau dahulu lema berikut

Lema 1

Misal $C$ kategori aditif dan $\phi \in \text{Mor}(A,B)$ untuk $A,B$ objek di $C$. Morfisma $\phi$ adalah monomorfisma jika dan hanya jika $0 \rightarrow A$ adalah kernelnya dan $\phi$ adalah epimorfisma jika dan hanya jika $B \rightarrow 0$ adalah kokernelnya.

Bukti: Bukti untuk kernel dan kokernel serupa. Karena sebelumnya telah dibuktikan untuk yang kernel, mari kita buktikan yang kokernel sekarang.

($\implies$) Misalkan $\phi$ epimorfisma dengan $\pi \in \text{Mor}(B,C)$ kokernelnya. Berarti untuk setiap $Z$, $\beta \in \text{Mor}(B,Z)$ dengan $\beta \circ \phi = 0$. Karena $\phi$ epik, haruslah $\beta = 0$. Karena $\hat{\beta}$ ada secara tunggal, kita punyai $\hat{\beta} \circ \pi = \beta = 0 = 0 \circ \pi$. Dari ketunggalannya, haruslah $\hat{\beta} = 0$. Namun, kita punyai pula $\hat{\beta} \circ \pi : B \rightarrow C \rightarrow Z$. Bagaimana dengan $C$? Kita punyai untuk $\beta \in \text{Mor}(B,Z)$ sehingga komposisi $B \rightarrow C \rightarrow Z$ adalah pemetaan nol, kita punyai $\beta$ dapat difaktorkan melalui $\hat{\beta}$ secara tunggal. Akibatnya, haruslah $\beta = 0$ sehingga $\beta$ difaktorkan secara tunggal melalui $B \rightarrow 0$. Jadi, $B \rightarrow 0$ adalah kokernel dari $\phi$.

($\impliedby$) Misalkan $B \rightarrow 0$ kokernel $\phi$ dan misalkan $\beta \in \text{Mor}(B,Z)$ sehingga $\beta \circ \phi = 0$. Karena $B \rightarrow 0$ kokernel $\phi$, haruslah $\beta$ difaktorkan secara tunggal melalui $B \rightarrow 0$. Akibatnya, haruslah $\beta = 0$ sehingga $\beta$ epik.

QED

Dengan demikian kita siap untuk mendefinisikan kategori abel. Pada kategori aditif, tidak ada jaminan setiap monomorfisma adalah kernel dari suatu morfisma (dan serupa untuk kokernel). Definisi kategori abel secara eksplisit mengurus dua hal tersebut.

Definisi 3. (Kategori Abel)

Suatu kategori aditif $C$ dikatakan sebagai kategori abel jika kernel dan kokernel ada di $C$; yakni setiap monomorfisma adalah kernel dari suatu morfisma dan setiap epimorfisma adalah kokernel dari suatu morfisma.