Lapangan dan Pencoretan
Anda mungkin terbiasa mengenal operasi "pencoretan" dalam melakukan manipulasi aljabar. Namun, pernahkah anda terpikir kenapa sih pencoretan tersebut bisa dilakukan (dan apa yang sebenarnya dilakukan)?
Pada kasus ini saya akan membicarakan perumumannya, tidak hanya pada himpunan $\mathbb{R}$ saja. Bagaimana caranya? Pertama, kita akan bicara dahulu terkait lapangan.
Apa itu lapangan? Menurut KBBI, lapangan adalah tempat atau tanah yang luas (biasanya rata); tempat (gelanggang) pertandingan (bulu tangkis, bola voli, bola basket); bidang (pekerjaan, pengetahuan, dan sebagainya). Namun, bukan ini yang akan kita bicarakan sekarang (lucunya, gelanggang pun punya arti lain di matematika.)
Definisikan lapangan $(F,+,\cdot)$ (selanjutnya akan kita sebut $F$ saja) suatu sistem matematika (yaitu sebuah himpunan tak hampa yang dilengkapi suatu operasi), $F$ punya properti sebagai berikut: [1]
(misalkan $a,b,c \in F$)
- $a + b = b + a$ dan $a \cdot b = b \cdot a$ (komutatif)
- $(a+b) + c = a + (b + c)$ dan $(a \cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ (asosiatif)
- Ada elemen 0 dan 1 di $F$ yang berbeda (yaitu 0 $\ne$1) sehingga $0 + a = a$ dan $1 \cdot a = a$ (eksistensi unsur identitas)
- Untuk setiap unsur $a$ di $F$ dan setiap unsur bukan 0 $b$ di $F$, ada unsur $c,d \in F$ sehingga $a + c = 0$ dan $b \cdot d = 1$ (eksistensi unsur invers)
- $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ (distributif)
Sebagai contoh, himpunan bilangan real $\mathbb{R}$ yang dilengkapi operasi penjumlahan dan perkalian yang umum adalah sebuah lapangan.
Nah, sekarang mari definisikan hukum pencoretan. Misalkan $a, b, c \in F$ untuk suatu lapangan $F$, hukum pencoretan mengatakan:
- Jika $a + b = c + b$, $a = c$
- Jika $a \cdot b = b \cdot c$ untuk $b \ne 0$, $a = c$
Bagaimana membuktikannya? Sebenarnya sederhana saja. Mari kita coba untuk yang pertama dahulu. Dari sifat lapangan nomor 4, kita dapatkan ada $d \in F$ yang memenuhi $b + d = 0$. Jumlahkan kedua ruas pada persamaan dengan $d$ untuk mendapatkan $a + b + d = b + c + d$. Dari sifat komutatif dan asosiatif, kita dapatkan persamaan tersebut sama dengan $a + (b + d) = (b + d) + c$ sehingga didapat $a = c$. QED. Untuk yang kedua caranya serupa. Dari sifat lapangan nomor 4, kita dapatkan ada $d \in F$ yang memenuhi $(b \cdot d) = 1$. Kalikan kedua ruas dengan $d$ dan lakukan seperti yang sebelumnya, kita dapatkan $a \cdot (b \cdot d) = (b \cdot d) \cdot c$. Akibatnya, kita dapatkan $a = c$. QED.
Referensi:
[1] S. H. Friedberg, A. J. Insel, and L. E. Spence, Linear algebra. Harlow: Pearson Education Limited, 2014.
Komentar
Posting Komentar
-Mohon untuk tidak spam di komentar-