Ideal, Bagian Kedua: Ideal Maksimal di Daerah Ideal Utama

Pada tulisan sebelumnya, telah dibahas tentang apa itu ideal dan kita dapatkan hasil bahwa ideal dari gelanggang bilangan bulat selalu berbentuk $I = n\mathbb{Z}$ untuk suatu $n \in \mathbb{Z}$ (silahkan anda baca dahulu tulisan sebelumnya jika anda belum familiar dengan hasil ini). Sekarang, kita akan mengkaji ideal pada daerah ideal utama, yaitu daerah integral yang setiap idealnya dapat dibangun oleh satu unsur. Contoh dari daerah ideal utama (berikutnya saya singkat sebagai DIU; sumber berbahasa inggris menyingkatnya sebagai PID - Principal Ideal Domain) adalah gelanggang bilangan bulat (buktinya saya serahkan pada pembaca).


Kita awali dengan berkenalan dahulu dengan definisi berikut:

Definisi
Misal $R$ suatu gelanggang dan $I$ ideal dari $R$. Ideal $I$ dikatakan ideal maksimal jika  $I \ne R$ dan untuk setiap ideal $J$ dari $R$, kondisi $I \subset J$ (subset sejati) mengakibatkan $J = R$.

Dengan kata lain, apabila $I$ adalah suatu ideal maksimal, satu-satunya ideal yang mengandung $I$ adalah ideal yang dibentuk gelanggangnya itu sendiri (alias ideal yang dibangun $\langle 1 \rangle$).

Klaim
Misal $D$ suatu daerah ideal utama. $D$ punya ideal maksimal.

Sebelum memberi bukti bagi klaim tersebut, mari kita tinjau dahulu lemma berikut sebagai alat bantu kita.

Lemma (Ascending Chain Condition pada DIU)
Misal $D$ suatu daerah ideal utama dan $$I_1 \subseteq I_2 \subseteq I_3 \subseteq ... $$
suatu rantai naik ideal dari $D$. Ada $k \ge 1 \in \mathbb{Z}$ sehingga $I_k = I_{k + j}$ untuk setiap $j \ge 0$.

Bukti Lemma
Tulis
$$\bigcup_{\mathcal{l} = 1} I_{\mathcal{l}} = I$$

Ambil $a,b \in I$, jelas ada $r_1, r_2$ sehingga $a \in I_{r_1}$ dan $b \in I_{r_2}$ ($r_1$ dan $r_2$ tidak harus berbeda). Tanpa mengurangi keumuman, $r_1 \le r_2$ sehingga $a,b \in I_{r_2}$. Karena $I_{r_2}$ ideal, jelas $x_1 a + x_2b \in I_{r_2}$ untuk sebarang $x_1, x_2 \in D$. Kita dapatkan $I$ adalah suatu ideal. Karena $I$ ideal dan $D$ daerah ideal utama, ada $y \in D$ sehingga $I = \langle y \rangle$ (yakni, ada sebuah unsur pembangun $I$). Jadi, $y \in I = \bigcup_{\mathcal{l} = 1} I_{\mathcal{l}}$. Akibatnya, ada suatu $k$ sehingga $y \in I_k$.

Berikutnya, akan ditunjukkan bahwa $I = I_k$. Jelas bahwa $I_k \subseteq I$. Ambil $z \in I$. Karena $I = \langle y \rangle$, kita bisa tulis $z$ sebagai $z = my$ untuk suatu $m \in D$. Karena $y \in I_k$, kita dapatkan $I \subseteq I_k$. Kita simpulkan bahwa $I = I_k$.

Yang tersisa untuk dibuktikan adalah bahwa $I_{k} = I_{k+j}$ untuk sebarang $j \ge 0$. Jelas bahwa $I_k \subseteq I_{k+j}$ (dari pendefinisian rantai tadi). Berikutnya, perhatikan bahwa $I_{k+j} \subseteq I$. Karena $I = I_k$, kita dapat $I_{k+j} \subseteq I_k$. Kita simpulkan $I_k = I_{k+j}$ untuk sebarang $j \ge 0$. Dengan demikian kita selesai. $\blacksquare$

Untuk membuktikan klaim kita sebelumnya, kita akan mengasumsikan axiom of choice sehingga kita bisa gunakan lemma berikut:

Lemma (Zorn)
Misal $P$ suatu himpunan dengan urutan parsial (poset) dengan setiap rantai pada $P$ punya batas atas di $P$. $P$ punya setidaknya satu unsur terbesar.

Lemma Zorn ekuivalen dengan axiom of choice. Detailnya tidak akan saya bahas di sini.

Bukti Klaim
Untuk membuktikan klaim kita, pilih $P$ sebagai himpunan ideal-ideal sejati dari daerah ideal utama $D$ (yaitu $P = \{I : I$ ideal dari $D$, $I \ne D \}$). Definisikan urutan parsialnya sebagai inklusi himpunan (saya tidak akan membahas apa itu urutan parsial di sini). Dari lemma tentang ascending chain condition di atas, tinjau kondisi yang serupa, tetapi pada $P$. Kita tulis $$I = \bigcup_{I_j \in P} I_{j}$$, yaitu gabungan semua ideal di $P$ . Agar kondisi lemma Zorn terpenuhi, kita perlu tunjukkan $I \in P$, yakni $I$ adalah ideal sejati dari $D$. Karena sebelumnya kita sudah menunjukkan bahwa $I$ adalah ideal, kita hanya perlu menunjukkan bahwa $I \ne D$. Perhatikan bahwa $\langle 1 \rangle$ bukan anggota $P$. Akibatnya pula $1$ bukan anggota $I_j$ untuk setiap $I_j \in P$. Kita dapatkan $1$ bukan anggota $I$ sehingga $I \ne D$ (silahkan verifikasi kenapa). Kita punyai $I$ adalah batas atas bagi rantai ideal-ideal di $P$.

Karena batas atas bagi $P$ ada di $P$ dan $P$ adalah suatu poset, kita simpulkan $P$ punya unsur terbesar. Dari definisi ideal maksimal, kita simpulkan setiap DIU $D$ punya ideal maksimal. $\blacksquare$