Homomorfisma Grup: Sebuah Pengantar

Saat bekerja dengan himpunan, kita sudah biasa mengenal pemetaan dari suatu himpunan ke himpunan lainnya. Jika kita ingat lagi definisi grup, misalkan kita punya dua buah grup, sebut saja $G$ dan $H$, tentu kita bisa saja membuat pemetaan dari himpunan pembentuk grup $G$ ke himpunan pembentuk grup $H$. Kita dapatkan sebuah pemetaan $f: G \rightarrow H$. Apakah kita puas dengan ini?

Tentu tidak. Pemetaan yang kita buat tadi hanya memuat informasi terkait himpunan pembentuk grupnya saja. Kita ingin merancang sebuah pemetaan yang mempertahankan sifat-sifat operasi yang dimiliki oleh grup $G$ dan grup $H$. Untuk mempermudah saja, kita tuliskan operasi di grup $G$ sebagai ${\cdot}_G$ dan operasi di grup $H$ sebagai ${\cdot}_H$. Kedua operasi itu sejatinya adalah pemetaan
$$m_G : G \times G \rightarrow G$$
$$ (a,b) \mapsto a {\cdot}_G b$$
dan
$$m_H : H \times H \rightarrow H$$
$$(a,b) \mapsto a {\cdot}_H b$$

Kita bisa gambarkan pemetaan-pemetaan yang kita miliki dalam diagram berikut:

Melihat diagram di atas, adalah hal yang alamiah untuk insting bertanya "Bisakah kita menambah satu panah lagi dari $G \times G$ ke $H \times H$? Apa yang bisa kita tambahkan ke sana?"

Tentu sebenarnya kita bisa tambahkan pemetaan apapun dari $G \times G$ ke $H \times H$ ke sana. Namun, kita ingin mengaitkannya dengan pemetaan yang kita punya sebelumnya (si $f$ itu tadi). Sederhana saja, kita bisa definisikan pemetaan
$$f \times f : G\times G \rightarrow H \times H$$
$$(a,b) \mapsto (f(a), f(b))$$
Kita punyai diagram berikut:

Sekarang, syarat apa yang perlu kita tambahkan pada pemetaan kita agar tetap dapat mempertahankan struktur yang kita punyai? Tentunya kita ingin diagram di atas komutatif. Dengan kata lain, kedua diagram berikut akan menghasilkan hal yang sama:

Misalkan $a,b \in G$. Agar diagram tersebut komutatif, dengan mengacu pada diagram yang telah kita potong, kita ingin agar syarat berikut terpenuhi:
$$f(a {\cdot}_G b) = f(a) {\cdot}_H f(b)$$

Dengan begitu, kita dapat berikan definisi untuk suatu homomorfisma grup (dari kata homo dan morf yang berarti sama bentuk):

Definisi
Misalkan $G,H$ grup. Suatu pemetaan $f: G \rightarrow H$ dikatakan sebagai homomorfisma grup jika diagram berikut komutatif:

Kita turunkan suatu teorema juga dari hasil yang kita dapatkan di atas

Teorema
Misalkan $(G, {\cdot}_G),(H,{\cdot}_H)$ grup dan $f$ homomorfisma grup dari $G$ ke $H$. Untuk $a,b \in G$ berlaku $f(a {\cdot}_G b) = f(a) {\cdot}_H f(b)$

Dengan demikian, kita punyai syarat agar sebuah pemetaan mengawetkan struktur yang kita miliki.