Apa itu fungsi?
Anda yang sudah pernah melalui sekolah menengah pastinya sudah pernah berkenalan dengan fungsi di matematika. Biasanya, suatu fungsi digambarkan sebagai suatu mesin yang mengubah suatu objek $a$ dari himpunan $A$ menjadi objek $b = f(a)$ di himpunan $B$.
Namun, sebenarnya fungsi itu apa sih? Bagaimana kita memformalisasi proses "memetakan" yang biasa digunakan dalam menjelaskan apa itu fungsi? Sebelumnya, mari kita berkenalan dengan tools yang akan kita gunakan terlebih dahulu.
Definisi 1
Misalkan $A,B$ suatu himpunan. Hasil kali kartesian dari himpunan $A,B$, notasikan sebagai $A \times B$, adalah himpunan $$A \times B = \{ (a,b) \, | \, a \in A, b \in B \}$$
Sebagai contoh, hasil kali kartesian dari himpunan $\{1,2\}$ dengan $\{a,b\}$ adalah $\{ (1,a), (1,b), (2,a), (2,b) \}$.
Definisi 2
Suatu relasi $R$ atas himpunan $A,B$ adalah subhimpunan dari $A \times B$ dengan untuk $a \in A, b \in B$ kita katakan $a R b$ atau $a$ berelasi dengan $b$ (dengan relasi $R$) jika $(a,b) \in R$
Jangan terlalu bingung dengan notasi yang digunakan. Notasi $R$ di sini dapat digunakan seakan-akan seperti operasi (walau bukan), dan juga sebagai notasi bagi himpunan (abuse of notation, hehe). Contoh dari relasi adalah dengan mendefinisikan himpunan $R = \{ (a,b) \, | \, a \in A, b \in B, a - b = 0 \} \subseteq A \times B$, yaitu relasi yang biasa kita kenal dengan relasi "sama dengan".
Definisi 3
Suatu relasi $R$ atas himpunan $A,B$ dikatakan univalent jika untuk setiap $a \in A, b,c \in B$ berlaku $(a,b) \in R$ dan $(a,c) \in R$ mengakibatkan $b = c$.
Pendefinisian relasi univalent hanyalah alat untuk menjelaskan suatu relasi yang memiliki sifat yang memaksa tiap unsur di himpunan $A$ hanya dapat berelasi dengan paling banyak satu unsur di himpunan $B$.
Definisi 4
Suatu relasi $R$ atas himpunan $A,B$ dikatakan penuh jika untuk setiap $a \in A$ terdapat $b \in B$ sehingga $(a,b) \in R$.
Nah, pendefinisian relasi yang penuh ini akan menjadi landasan kita untuk menjelaskan relasi yang memiliki sifat bahwa setiap anggota di himpunan $A$ selalu punya pasangan di himpunan $B$ sehingga ia berelasi.
Dengan empat tools yang telah kita jabarkan di atas, sudahkah anda mendapat gambaran, apa itu fungsi? ;)
Baiklah, dengan bantuan tools tersebut, mari kita definisikan fungsi
Definisi 5 (fungsi)
Misalkan $A,B$ suatu himpunan. Suatu fungsi $f : A \rightarrow B$ yang memetakan $a \in A$ ke $f(a) \in B$ adalah suatu relasi atas $A,B$ yang univalent dan penuh (dengan $f = \{ (a, f(a)) \, | \, a \in A, f(a) \in B \}$).
Lagi-lagi kita melakukan abuse of notation di sini, hehe. Kita menggunakan $f(a)$ sebagai notasi bagi suatu unsur di $B$ sehingga $(a,f(a)) \in f$. Defini fungsi sebagai suatu relasi yang penuh dan univalent memaksa setiap anggota himpunan $A$ (yang biasanya akan kita sebut sebagai domain bagi fungsi $f$) dipetakan ke tepat satu unsur di himpunan $B$.
Definisi yang diberikan di atas bukan tanpa tantangan. Sebagai contoh, mari tinjau kasus berikut:
Tantangan 1
Jika kita meninjau kategori SET yang mempunyai objek berupa kelas dari setiap himpunan dan panah antar objek sebagai fungsi antar himpunan, haruslah dari setiap objek dalam kategori SET terdapat pemetaan identitas ke dirinya sendiri. Tentu tak terkecuali dengan himpunan kosong. Bagaimana anda mendefinisikan pemetaan dari himpunan kosong ke himpunan kosong? Terlebih, dapat ditunjukkan bahwa himpunan kosong merupakan objek inisial dalam kategori SET, yakni ada suatu fungsi dari himpunan kosong ke setiap himpunan lainnya. Bagaimana kita mendefinisikan fungsi dari himpunan kosong ke sebarang himpunan?
Untuk menjawab tantangan tersebut, ada beberapa jalan yang bisa kita tempuh. Pertama, kita dapat meninjau kembali definisi hasil kali kartesian. Ambil $A = \emptyset$ dan $B$ sebarang himpunan. Dari definisi, kita dapatkan $\emptyset \times B = \{ (a,b) \, | \, a \in \emptyset, b \in B \}$. Namun, apa itu $a \in \emptyset$? Tidak ada! Jadi, hasil kali kartesian dengan himpunan kosong akan menghasilkan himpunan kosong. Dengan demikian, fungsi yang kita punya adalah suatu himpunan kosong.
Atau, kita bisa mendefinisikan fungsi dengan cara lain.
Definisi 5b (fungsi, revisited)
Misal $A,B$ suatu himpunan. Fungsi $f: A\rightarrow B$ adalah pasangan terurut $(A,B, f(A))$.
Di sini kita menginterpretasikan $f(A)$ sebagai subhimpunan $A \times B$ sedemikian sehingga jika kita $a$ dipetakan ke $b$ maka $(a,b) \in f(A)$. Definisi yang seperti ini serupa dengan definisi sebelumnya (yang kita bangun dengan mengkhususkan definisi relasi), tetapi definisi seperti ini biasanya lebih disukai. Kenapa? Karena dengan mendefinisikan fungsi dengan cara seperti ini, jelas domain dan kodomain fungsi. Dengan demikian, kita dapat mendefinisikan dua fungsi $f,g$ sama jika dan hanya jika ia memiliki domain, kodomain, dan peta yang sama. Dengan cara seperti ini, kita dapat menjawab tantangan sebelumnya dengan mendefinisikan fungsi dari himpunan kosong ke sebarang himpunan $S$ sebagai pasangan terurut $(\emptyset, S, \emptyset)$.
Tantangan 2
Bagaimana kita mendefinisikan fungsi satu-satu, fungsi pada, bijeksi, dan fungsi invers secara formal?
Detailnya akan saya serahkan pada pembaca, tetapi salah satu langkah yang dapat ditempuh jika menggunakan fungsi dengan definisi (5) adalah dengan memandang transpos dari relasinya. Yakni, $f^{T} = \{ (b,a) | (a,b) \in f \}$. Dari situ, kita bisa menambahkan syarat seperti yang telah kita lakukan sebelumnya (syarat apa yang perlu ditambahkan pada masing-masing fungsi? ;) )
Namun, sebenarnya fungsi itu apa sih? Bagaimana kita memformalisasi proses "memetakan" yang biasa digunakan dalam menjelaskan apa itu fungsi? Sebelumnya, mari kita berkenalan dengan tools yang akan kita gunakan terlebih dahulu.
Definisi 1
Misalkan $A,B$ suatu himpunan. Hasil kali kartesian dari himpunan $A,B$, notasikan sebagai $A \times B$, adalah himpunan $$A \times B = \{ (a,b) \, | \, a \in A, b \in B \}$$
Sebagai contoh, hasil kali kartesian dari himpunan $\{1,2\}$ dengan $\{a,b\}$ adalah $\{ (1,a), (1,b), (2,a), (2,b) \}$.
Definisi 2
Suatu relasi $R$ atas himpunan $A,B$ adalah subhimpunan dari $A \times B$ dengan untuk $a \in A, b \in B$ kita katakan $a R b$ atau $a$ berelasi dengan $b$ (dengan relasi $R$) jika $(a,b) \in R$
Jangan terlalu bingung dengan notasi yang digunakan. Notasi $R$ di sini dapat digunakan seakan-akan seperti operasi (walau bukan), dan juga sebagai notasi bagi himpunan (abuse of notation, hehe). Contoh dari relasi adalah dengan mendefinisikan himpunan $R = \{ (a,b) \, | \, a \in A, b \in B, a - b = 0 \} \subseteq A \times B$, yaitu relasi yang biasa kita kenal dengan relasi "sama dengan".
Definisi 3
Suatu relasi $R$ atas himpunan $A,B$ dikatakan univalent jika untuk setiap $a \in A, b,c \in B$ berlaku $(a,b) \in R$ dan $(a,c) \in R$ mengakibatkan $b = c$.
Pendefinisian relasi univalent hanyalah alat untuk menjelaskan suatu relasi yang memiliki sifat yang memaksa tiap unsur di himpunan $A$ hanya dapat berelasi dengan paling banyak satu unsur di himpunan $B$.
Definisi 4
Suatu relasi $R$ atas himpunan $A,B$ dikatakan penuh jika untuk setiap $a \in A$ terdapat $b \in B$ sehingga $(a,b) \in R$.
Nah, pendefinisian relasi yang penuh ini akan menjadi landasan kita untuk menjelaskan relasi yang memiliki sifat bahwa setiap anggota di himpunan $A$ selalu punya pasangan di himpunan $B$ sehingga ia berelasi.
Dengan empat tools yang telah kita jabarkan di atas, sudahkah anda mendapat gambaran, apa itu fungsi? ;)
Baiklah, dengan bantuan tools tersebut, mari kita definisikan fungsi
Definisi 5 (fungsi)
Misalkan $A,B$ suatu himpunan. Suatu fungsi $f : A \rightarrow B$ yang memetakan $a \in A$ ke $f(a) \in B$ adalah suatu relasi atas $A,B$ yang univalent dan penuh (dengan $f = \{ (a, f(a)) \, | \, a \in A, f(a) \in B \}$).
Lagi-lagi kita melakukan abuse of notation di sini, hehe. Kita menggunakan $f(a)$ sebagai notasi bagi suatu unsur di $B$ sehingga $(a,f(a)) \in f$. Defini fungsi sebagai suatu relasi yang penuh dan univalent memaksa setiap anggota himpunan $A$ (yang biasanya akan kita sebut sebagai domain bagi fungsi $f$) dipetakan ke tepat satu unsur di himpunan $B$.
Definisi yang diberikan di atas bukan tanpa tantangan. Sebagai contoh, mari tinjau kasus berikut:
Tantangan 1
Jika kita meninjau kategori SET yang mempunyai objek berupa kelas dari setiap himpunan dan panah antar objek sebagai fungsi antar himpunan, haruslah dari setiap objek dalam kategori SET terdapat pemetaan identitas ke dirinya sendiri. Tentu tak terkecuali dengan himpunan kosong. Bagaimana anda mendefinisikan pemetaan dari himpunan kosong ke himpunan kosong? Terlebih, dapat ditunjukkan bahwa himpunan kosong merupakan objek inisial dalam kategori SET, yakni ada suatu fungsi dari himpunan kosong ke setiap himpunan lainnya. Bagaimana kita mendefinisikan fungsi dari himpunan kosong ke sebarang himpunan?
Untuk menjawab tantangan tersebut, ada beberapa jalan yang bisa kita tempuh. Pertama, kita dapat meninjau kembali definisi hasil kali kartesian. Ambil $A = \emptyset$ dan $B$ sebarang himpunan. Dari definisi, kita dapatkan $\emptyset \times B = \{ (a,b) \, | \, a \in \emptyset, b \in B \}$. Namun, apa itu $a \in \emptyset$? Tidak ada! Jadi, hasil kali kartesian dengan himpunan kosong akan menghasilkan himpunan kosong. Dengan demikian, fungsi yang kita punya adalah suatu himpunan kosong.
Atau, kita bisa mendefinisikan fungsi dengan cara lain.
Definisi 5b (fungsi, revisited)
Misal $A,B$ suatu himpunan. Fungsi $f: A\rightarrow B$ adalah pasangan terurut $(A,B, f(A))$.
Di sini kita menginterpretasikan $f(A)$ sebagai subhimpunan $A \times B$ sedemikian sehingga jika kita $a$ dipetakan ke $b$ maka $(a,b) \in f(A)$. Definisi yang seperti ini serupa dengan definisi sebelumnya (yang kita bangun dengan mengkhususkan definisi relasi), tetapi definisi seperti ini biasanya lebih disukai. Kenapa? Karena dengan mendefinisikan fungsi dengan cara seperti ini, jelas domain dan kodomain fungsi. Dengan demikian, kita dapat mendefinisikan dua fungsi $f,g$ sama jika dan hanya jika ia memiliki domain, kodomain, dan peta yang sama. Dengan cara seperti ini, kita dapat menjawab tantangan sebelumnya dengan mendefinisikan fungsi dari himpunan kosong ke sebarang himpunan $S$ sebagai pasangan terurut $(\emptyset, S, \emptyset)$.
Tantangan 2
Bagaimana kita mendefinisikan fungsi satu-satu, fungsi pada, bijeksi, dan fungsi invers secara formal?
Detailnya akan saya serahkan pada pembaca, tetapi salah satu langkah yang dapat ditempuh jika menggunakan fungsi dengan definisi (5) adalah dengan memandang transpos dari relasinya. Yakni, $f^{T} = \{ (b,a) | (a,b) \in f \}$. Dari situ, kita bisa menambahkan syarat seperti yang telah kita lakukan sebelumnya (syarat apa yang perlu ditambahkan pada masing-masing fungsi? ;) )
Komentar
Posting Komentar
-Mohon untuk tidak spam di komentar-