Hasil Kali Tensor, Bagian Kedua: Ruang Dual

Sebelum membahas lebih lanjut dengan hasil kali tensor, kita akan sedikit belok dahulu. Kita akan fix dahulu notasi yang akan kita gunakan. Pertama, misalkan $V,W$ ruang vektor atas $F$.  Mari kita notasikan himpunan semua pemetaan linear dari ruang vektor $V$ ke $W$ sebagai $\textrm{Hom}_F(V,W)$.


Sebagai motivasi, kita bisa meninjau semua pemetaan dari $\mathbb{R}[x]$ ke $\mathbb{R}$, yakni pemetaan dari polinomial dengan koefisien real ke suatu bilangan real (contoh paling sederhana adalah dengan mensubstitusikan suatu nilai ke polinomnya). Kita bisa membatasi tinjauan kita pada pemetaan linear saja. Kita tahu bahwa kalau kita punya dua pemetaan $f,g$ dengan $f,g: \mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}$, kita bisa lakukan operasi penjumlahan (yakni $f+g$) dan kita bisa juga lakukan perkalian dengan suatu bilangan real (misalnya menjad $2f$). Perilaku seperti ini serupa dengan perilaku vektor pada ruang vektor. Nah, misalkan kita punya suatu ruang vektor. Bisakah kita konstruksi ruang vektor baru yang isinya adalah semua pemetaan linear dari ruang vektor sebelumnya ke lapangan skalarnya?

Mari kita beri notasi dahulu. Misalkan $V$ adalah suatu ruang vektor atas $F$. Kita notasikan himpunan yang dibentuk oleh pemetaan linear dari $V$ ke $F$ sebagai $$V^* = \textrm{Hom}_F(V,F)$$
Kemudian, perhatikan bahwa $V^*$ membentuk grup terhadap operasi penjumlahan pemetaan (silahkan periksa). Nah, $V^*$ kemudian ternyata membentuk ruang vektor juga atas $F$. Kita sebut ruang vektor baru ini sebagai ruang dual bagi V.

Satu pertanyaan yang alamiah adalah, seperti apakah basis dari $V^*$? Sebelumnya, mari kita batasi bahasan kita dengan hanya meninjau untuk kasus $V$ ruang vektor berdimensi hingga. Dengan demikian, kita bisa menuliskan basis-basis bagi $V$, sebut saja $\{ v_1, v_2, \ldots, v_k \}$. Untuk tiap-tiap $i \in \{1, 2, \ldots, k\}$, mari kita definisikan pemetaan
$$f_i : v_j \mapsto \delta_{i,j}$$
dengan $\delta_{i,j}$ adalah delta kronecker. Dengan kata lain, pemetaan tersebut bernilai nol jika $i \neq j$ dan bernilai 1 jika $i = j$. Untuk sebarang $\phi \in V^*$, kita bisa nyatakan sebagai kombinasi linear
$$\phi = \sum_{i=1}^{k} c_i f_i$$ untuk suatu $c_i \in F$. Hal ini serupa dengan mengatakan ke mana saja basis-basis dari $V$ dipetakan oleh $\phi$ dan seberapa "bobot" yang diberikan pada tiap-tiap basis. Anda bisa periksa lebih lanjut untuk menunjukkan bahwa $\{f_1, f_2, \ldots, f_k\}$ membentuk basis bagi $V^*$. Dengan demikian, dimensi dari $V^*$ sama dengan dimensi dari $V$.

Kemudian, jika sebelumnya kita meninjau ruang vektor yang dibentuk oleh himpunan pemetaan-pemetaan linear dari suatu ruang vektor ke lapangan skalarnya, bagaimana kalau kita mau membentuk ruang vektor yang dibentuk oleh himpunan pemetaan-pemetaan linear dari suatu ruang vektor ke ruang vektor lainnya?

Sebelumnya, kita telah mempunyai hasil kali tensor dan telah didapat juga bahwa $\textrm{dim}(V \otimes W) = \textrm{dim}(V)\textrm{dim}(W)$. Satu hal yang dipelajari dalam aljabar linear elementer adalah bahwa suatu pemetaan linear $f: V \rightarrow W$ dapat direpresentasikan sebagai matriks berukuran $\textrm{dim}(V) \times \textrm{dim}(W)$. Unsur-unsur di matriks ini dapat kita "ratakan" menjadi sebuah vektor kolom dengan panjang $\textrm{dim}(V)\textrm{dim}(W)$. Jadi, ide di sini adalah untuk somehow mengaitkan antara hasil kali tensor dengan $\textrm{Hom}_F(V,W)$. Lagi-lagi, mari kita asumsikan bahwa $V,W$ berdimensi hingga.

Klaim
Misal $V,W$ ruang vektor atas $F$. Maka $$V^* \otimes W \simeq \textrm{Hom}_F(V,W)$$

Bukti
Definisikan $\psi: V^* \rightarrow \textrm{Hom}_F(V,W)$ dengan $$\psi: f_1 \otimes w_1 + \ldots + f_1 \otimes w_l + \ldots + f_k \otimes w_l \mapsto f_1(v)w_1 + \ldots + f_k(v)w_l$$ Bukti bahwa $\psi$ adalah pemetaan linear saya serahkan pada pembaca. Sekarang, akan ditunjukkan bahwa pemetaan tersebut merupakan suatu bijeksi. Ambil sebarang $T \in \textrm{Hom}_F(V,W)$. Kita akan tunjukkan dahulu bahwa untuk setiap $T$ ada suatu unsur di $V^* \otimes W$ yang dipetakan ke $T$.

Misalkan $\{v_1, v_2, \ldots, v_k \}$ basis bagi $V$ sehingga $T(v_i) = \eta_i$. Perhatikan bahwa untuk $f_i$ basis di $V^*$ yang bersesuaian dengan $v_i$, kita dapatkan
$$\psi\left(\sum_{i=1}^kf_i \otimes \eta_i\right) = T$$
sehingga kita dapatkan $\psi$ suatu pemetaan yang surjektif.

Kemudian, karena $$\textrm{dim}(V^* \otimes W) = \textrm{dim}(V)\textrm{dim}(W) = \textrm{dim}(\textrm{Hom}_F(V,W))$$ kita dapatkan pemetaan yang pada dari $V^* \otimes W$ ke $\textrm{Hom}_F(V,W)$ juga merupakan suatu bijeksi. Oleh karena itu, kita dapatkan $V^* \otimes W \simeq \textrm{Hom}_F(V,W)$. QED.

Salah satu penerapan dari hasil ini adalah kita bisa meninjau $\textrm{Hom}_F(V,V) \simeq V^* \otimes V$ dan kita bisa definisikan juga suatu pemetaan evaluasi $\textrm{ev}: V^* \otimes V \rightarrow F$ dengan $\textrm{ev}: f \otimes v \mapsto f(v)$. Kita tahu bahwa $\textrm{Hom}_F(V,V)$ dapat dinyatakan sebagai suatu matriks. Misalkan $M$ suatu matriks yang merepresentasikan suatu pemetaan di $\textrm{Hom}_F(V,V)$. Kita bisa definisikan sesuatu yang sudah biasa kita kenal sejak aljabar linear elementer:
$$\textrm{tr}(M) = \textrm{ev}(\psi(M))$$
dan anda dapat periksa bahwa definisi tersebut sesuai dengan definisi trace matriks yang sudah biasa anda kenal.