Lebih Jauh dengan Operator Proyeksi: Dekomposisi Ruang Vektor

Beberapa waktu yang lalu, saya pernah mengenalkan tentang formalisasi dari konsep proyeksi pada ruang vektor abstrak. Kali ini, kita akan mengkaji kembali operator proyeksi dengan tujuan untuk mengaitkannya dengan dekomposisi ruang vektor sebagai hasil jumlah langsung berhingga banyaknya subruang. Tentunya ruang vektor yang kita bicarakan di sini ialah ruang vektor berdimensi hingga.

Kita akan menggunakan kaidah penamaan yang sedikit berbeda dari tulisan sebelumnya untuk memudahkan kita bekerja dengan beberapa operator proyeksi. Kita mulai bahasan dengan proposisi berikut:

Proposisi 1
Misal $P_1 : V \rightarrow V$ suatu pemetaan linear sedemikian sehingga $${P_1}^2 = P_1$$ maka ada subruang $U_1, U_2$ sehingga $V = U_1 \oplus U_2$ dan $P_1$ adalah proyeksi pada $U_1$ sepanjang $U_2$

Bukti
Kita klaim dahulu bahwa $U_1 = $ Peta$(P_1)$ dan $U_2=$ Ker$(P_1)$. Tinjau $v \in $ Peta$(P_1) \cap $ Ker$(P_1)$. Jelas bahwa $P_1(v) = 0$ dan ada $w \in V$ sehingga $P_1(w) = v$.  Sekarang, mari tinjau ${P_1}^2$. Kita dapatkan $v = P_1(w) = {P_1}^2(w) = P_1(v) = 0$. Jadi, haruslah Peta$(P_1) \cap $ Ker$(P_1) = \{ 0 \}$.

Berikutnya, kita ambil sembarang $v \in V$. Perhatikan bahwa untuk $I_V$ pemetaan identitas di $V$, berlaku $P_1(v) + (I_V - P_1)(v) = v$. Pertama, jelas bahwa $P_1(v) \in $ Peta$(P_1)$. Kemudian, perhatikan bahwa $$P_1(I_V - P_1) = P_1 - {P_1}^2 = P_1 - P_1 = 0$$ sehingga $(I_V - P_1)(v) \in $ Ker$(P_1)$. Akibatnya, kita dapatkan $v$ terdekomposisi menjadi jumlahan dua unsur dengan satu di peta dan satu di kernel, yakni $$v = P_1(v) + (I_V - P_1)(v)$$Karena sebelumnya kita sudah tunjukkan juga irisan peta dan kernelnya hanya berisi nol, bisa kita simpulkan bahwa $V = $ Peta$(P_1) \oplus$ Ker$(P_1)$. QED.

Dari proposisi tersebut, kita dapatkan akibat berikut

Akibat 1
Jika $P_1: V \rightarrow V$ adalah suatu proyeksi pada $U_1$ sepanjang $U_2$, maka $I_V - P_1$ adalah proyeksi pada $U_2$ sepanjang $U_1$.

Bukti
Buktinya trivial dengan mengikuti argumen pembuktian dari proposisi 1. Cukup diperiksa bahwa ${(I_V - P_1)}^2 = I_V - P_1$.

Hasil yang telah kita dapatkan dari proposisi 1 dan akibat 1 dapat kita perluas lebih lanjut. Misalkan $V$ suatu ruang vektor yang dapat didekomposisi menjadi $r$ buah subruang $$V = U_1 \oplus U_2 \oplus \ldots \oplus U_r$$Mari kita definisikan untuk suatu $j$ dengan $1 \le j \le r$ suatu pemetaan $P_j(u_1 + u_2 + \ldots + u_r) = u_j$ dengan $u_i \in U_i$. Serupa dengan hasil yang kita dapatkan sebelumnya, kita punyai untuk setiap $1 \le i,j \le r:

• ${P_j}^2 = P_j$
• $P_j P_i = 0$ untuk $i \neq j$
• $\sum_{k=1}^r P_k = I_V$

Nah, mungkin kita akan lebih tertarik dengan konvers dari hasil tersebut. Yakni, jika ada pemetaan $P_j$ untuk setiap $j$ dengan $1 \le j \le r$ yang memenuhi sifat di atas, apakah kita selalu bisa mendekomposisi ruang vektor $V$ menjadi jumlah langsung dari $r$ buah subruang? Kita nyatakan hal tersebut sebagai proposisi berikut:

Proposisi 2

Misal untuk setiap $j$ dengan $1 \le j \le r$, pemetaan $P_j : V \rightarrow V$ adalah pemetaan linear yang memenuhi

• $P_j P_i = 0$ untuk $i \neq j$
• $\sum_{k=1}^r P_k = I_V$

maka ${P_j}^2 = P_j$ dan $V = U_1 \oplus U_2 \oplus \ldots \oplus U_r$.

Bukti

Kita buktikan klaim pertama kita dahulu. Mengalikan kedua ruas pada poin kedua dengan $P_j$ menghasilkan ${P_j}^2 = P_j$. Akibatnya, $P_j$ adalah suatu proyeksi. Berikutnya, ambil sebarang $v \in V$. Kita dapatkan $v = \sum_{k=1}^r P_k(v)$ sehingga $V = U_1 + U_2 + \ldots + U_r$. Sekarang, kita ingin meninjau irisan $U_j$ dengan hasil jumlahan $U_i$ lainnya ($i \neq j$) untuk menunjukkan bahwa hasil jumlahan sebelumnya adalah jumlah langsung. Untuk $v \in U_j \cup (U_1 + \ldots + U_{j-1} + U_{j+1} + \ldots + U_r)$, kita bisa menulis $$v = \sum_{k = 1, k \neq j}^r P(w_k)$$ dan dengan mengambil $P_j$ dari kedua ruas, kita dapatkan $P_j(v) = 0$ sehingga $U_j \cup (U_1 + \ldots + U_{j-1} + U_{j+1} + \ldots + U_r) = \{ 0 \}$ . Jadi, $V = U_1 \oplus \ldots \oplus U_r$. QED

Akibat langsung dari proposisi tersebut mengembalikan kita kepada bahasan proyeksi.

Akibat 2
Untuk $P_j$ yang didefinisikan sebelumnya, $P_j$ adalah proyeksi pada $U_j$ sepanjang $U_i$ untuk setiap $i$ dengan $1 \le i \le r$ dan $i \neq j$.

Bukti
Bukti untuk ini sederhana, dapat dilakukan dengan meninjau kernel dan peta dari $P_j$ untuk setiap $1 \le j \le r$ dan memanfaatkan fakta yang kita dapatkan dalam pembuktian proposisi sebelumnya. Saya serahkan kehormatan untuk membuktikan akibat ini pada pembaca.