Mengkonstruksi Bilangan Rasional dari Bilangan Bulat
Kita tahu bahwa bilangan asli dapat dikonstruksi dari aksioma pada set theory dengan ordinal Von Neumann. Bagaimana dengan bilangan bulat? Kita dapat mengonstruksi bilangan bulat dengan "melengkapkan" bilangan asli (melalui menambahkan anggota sedemikian sehingga ada unsur identitas dan invers penjumlahan). Metodenya adalah dengan membuat kelas ekuivalen melalui relasi ekuivalen $$(a,b) \sim (c,d) \iff a+d = b+c$$ dengan $a,b,c,d \in \mathbb{N}$. Kemudian, pasangan terurut $(a,b)$ dapat dipandang seperti menyatakan bilangan $a-b$ (perhatikan pendefinisian kelas ekuivalen di atas, kita tidak menggunakan pengurangan karena memang tidak terdefinisi pada bilangan asli). Berikutnya, kita bisa pandang suatu bilangan bulat $a$ sebagai suatu kelas ekuivalen yang dibangun relasi tersebut.
Nah, sekarang kita sudah punya bilangan bulat. Kita punya operasi penjumlahan yang komutatif, asosiatif, dan punya invers. Apa lagi yang kurang? Perhatikan bahwa kita bisa lengkapi bilangan bulat menjadi sistem dengan dua operasi (yakni, penjumlahan dan perkalian). Anda yang familiar dengan aljabar abstrak mungkin langsung mengenali bahwa bilangan bulat ini membentuk suatu gelanggang komutatif. Lebih lagi, bilangan bulat adalah suatu daerah integral (bahkan pendefinisian daerah integral dimotivasikan oleh sifat pada bilangan bulat). Apa itu daerah integral? Daerah integral $D$ adalah suatu gelanggang komutatif sehingga untuk $a,b \in D$ dengan $a \ne 0$ (0 di sini bermakna identitas penjumlahan), jika $ab = 0$ haruslah berlaku $b = 0$. Dengan kata lain, jika dua bilangan tak nol dikalikan, hasilnya tidak boleh nol. Sebagai contoh, pada gelanggang $\mathbb{Z}_6$ (gelanggang bilangan bulat modulo 6), kita punyai $2 \times 3 = 0$ sehingga $\mathbb{Z}_6$ bukanlah daerah integral. Properti menarik pada daerah integral adalah kita bisa melakukan pencoretan.
Proposisi 1 (Pencoretan)
Misal $D$ daerah integral dan $a,b,c \in D$ dengan $a \ne 0$. Jika $$ab = ac$$ maka berlaku $b = c$.
Bukti
Perhatikan bahwa kita tidak boleh langsung membagi kedua ruas dengan $a$ begitu saja (kenapa hayo?). Namun, kita bisa menjumlahkan kedua ruas dengan $-(ac)$ untuk mendapatkan
$$ab + (-ac) = 0$$
$$a(b + (-c)) = 0$$
Karena $a \ne 0$, haruslah $b + (-c) = 0$. Dengan kata lain, $b = c$. QED.
Nah, bisa ditunjukkan bahwa setiap daerah integral yang memiliki unsur berhingga banyaknya adalah suatu lapangan (silahkan anda coba buktikan, anda hanya perlu membuktikan bahwa setiap unsur di daerah integral hingga memiliki invers perkalian). Namun, bagaimana kalau kita ingin lebih umum? Secara umum, daerah integral memang bukan merupakan lapangan. Akan tetapi, kita dapat "melengkapi" daerah integral tersebut menjadi suatu lapangan. Kali ini, kita akan menggunakan hal tersebut untuk mengkonstruksi bilangan rasional dari bilangan bulat.
Tinjau daerah integral bilangan bulat $\mathbb{Z}$. Apa yang membuatnya gagal untuk menjadi lapangan? Perhatikan bahwa tidak semua unsur di $\mathbb{Z}$ dapat dikalikan dengan sesuatu untuk menjadi 1. Sebagai contoh, persamaan $2x = 1$ tidak punya solusi di $\mathbb{Z}$. Kalau begitu, bagaimana kalau kita buat ada saja? Kita akan manfaatkan konstruksi yang mirip-mirip dengan konstruksi bilangan bulat.
Mari kita buat himpunan berikut:
$$\tilde{F} = \{ (a,b) \, | \, a,b \in \mathbb{Z}, b \ne 0 \}$$
Interpretasi untuk pasangan terurut $(a,b)$ yang kita konstruksi di atas adalah bilangan $\frac{a}{b}$ yang biasa kita kenal dari sekolah dasar. Kita tidak menuliskannya sebagai pembagian karena memang di bilangan bulat pembagian tidak terdefinisi (karena tidak semua unsur di bilangan bulat punya invers perkalian). Kemudian, kita bentuk relasi berikut pada himpunan $\tilde{F}$:
$$(a,b) \sim (c,d) \iff ad = bc$$
Misalkan kita punya pecahan $\frac{a}{b}$ dan $\frac{c}{d}$. Kita tahu bahwa $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ jika dan hanya jika $ad = bc$. Representasi mereka mungkin berbeda, tetapi mereka sejatinya ialah hal yang sama (hence pendefinisian relasi kita). Fakta bahwa relasi tersebut ialah suatu relasi ekuivalensi akan saya serahkan pada pembaca untuk membutikannya (ga susah kok 😊)
Sekarang, kita bisa kumpulkan kelas-kelas ekuivalen tersebut, notasikan dengan $$F = \tilde{F}/\sim$$Unsur-unsur pada $F$ adalah kelas-kelas ekuivalen yang dibentuk oleh relasi $\sim$.
Sekarang, bagaimana kita mendefinisikan operasi pada himpunan ini? Pertama, mari kita coba definisikan penjumlahan dengan mendefinisikannya sebagai $(a,b) + (c,d) = (ad + bc, bd)$. Kenapa dibuat seperti ini? Kita ingin mencoba "meniru" penjumlahan pecahan (naif) yang kita kenal sejak sekolah dasar. Apakah operasi ini terdefinisi dengan baik? Mari kita periksa.
Misal $(a,b) \sim (a', b')$. Berarti $ab' = a'b$. Tinjau $(a',b') + (c,d) = (a'd + b'c, b'd)$. Perhatikan bahwa $(a'd + b'c)bd = a'bdd + b'bcd = ab'dd + b'bcd = (ad + bc) b'd$ sehingga $(a',b') + (c,d) \sim (a,b) + (c,d)$. Jadi, operasi penjumlahan terdefinisi dengan baik.
Kemudian, anda bisa melihat juga bahwa $(0,1)$ merupakan unsur identitas penjumlahan. Karena penjumlahannya terdefinisi dengan baik, semua unsur $\tilde{F}$ yang berelasi dengan $(0,1)$ juga merupakan identitas penjumlahan. Anda akan dapatkan bahwa kelas ekuivalen yang mengandung $(0,1)$ berisikan semua unsur dalam bentuk $(0,b)$ dengan $b \ne 0$. Mari kita notasikan kelas ekuivalen ini dengan $0_F$ (subscript $F$ hanya untuk menegaskan saja bahwa 0 di sini adalah suatu kelas pada $F$, bukan sebuah bilangan). Anda bisa observasi juga bahwa $(-a,b)$ adalah invers bagi $(a,b)$.
Dengan demikian, kita punyai himpunan $F$ yang dilengkapi operasi penjumlahan. Memeriksa kekomutatifan dan keasosiatifannya mudah (diturunkan dari sifat daerah integral), sehingga kita dapatkan $(F,+)$ membentuk suatu grup abel.
Berikutnya, mari kita definisikan operasi perkalian. Kita bisa definisikan sebagai $(a,b)(c,d) = (ac,bd)$. Apakah operasi ini terdefinisi dengan baik? Langkah membuktikannya serupa. Misalkan $(a,b) \sim (a',b')$, berarti $ab' = a'b$. Kemudian, perhatikan bahwa $acb'd = ab'cd = a'bcd = a'cbd$ sehingga $(a,b)(c,d) = (ac,bd) \sim (a'c,b'd) = (a',b')(c,d)$. Oleh karena itu, operasi perkalian terdefinisi dengan baik.
Dengan pendefinisian perkalian seperti itu, mudah dilihat bahwa $(1,1)$ adalah unsur identitas perkalian. Karena perkalian terdefinisi dengan baik, semua yang berelasi dengan $(1,1)$ juga merupakan identitas perkalian. Bisakah anda menebaknya? ;)
Kita tuliskan kelas ekuivalen yang berisi unsur identitas sebagai $1_F = \{ (b,b), b \ne 0 \}$. Dengan mudah pula kita dapat melihat bahwa $(b,a)$ adalah invers perkalian bagi unsur $(a,b)$. Mudah pula untuk diperiksa bahwa operasi perkalian bersifat komutatif dan asosiatif.
Apa yang kurang? Kita perlu memberi hubungan antara operasi penjumlahan dan perkalian. Hubungan ini dalam bentuk sifat distributif.
Tinjau $$(a,b)\left((c,d) + (e,f)\right)$$
$$= (a,b) \left((cf+de,df)\right)$$
$$= \left( a(cf + de), bdf \right)$$
$$= (acf+ade,bdf) \sim (acbf + bdae, bdbf) \textrm{ (silahkan anda periksa)}$$
$$= (ac,bd) + (ae,bf)$$
$$= (a,b)(c,d) + (a,b)(e,f)$$
(catatan: pada praktiknya, untuk menunjukkan ini anda akan bekerja maju-mundur dan terakhir membuktikan relasi yang di tengah memang benar)
Dengan demikian, kita punyai sifat distributif. Kita dapatkan $(F,+,\times)$ suatu lapangan (dan dapat diperiksa bahwa lapangan ini benar isomorfis dengan $\mathbb{Q}$. Inilah konstruksi kita untuk melengkapi bilangan bulat agar ia punya invers.
Secara lebih umum, kita dapat mengganti $\mathbb{Z}$ pada bahasan kita di atas dengan sebarang daerah integral $D$. Lapangan yang dihasilkan oleh konstruksi tersebut disebut sebagai lapangan hasil bagi (dalam referensi berbahasa Inggris dikenal pula sebagai field of fractions) dari daerah integral $D$. Fakta yang penting ialah lapangan hasil bagi ini merupakan lapangan terkecil yang memuat daerah integral $D$ (dalam artian, jika ada lapangan lain yang memuat $D$, harulah lapangan hasil bagi dari $D$ termuat di dalam lapangan tersebut).
Misalkan $D$ suatu daerah integral dan $F$ lapangan hasil bagi dari $D$. Kita bisa definisikan suatu pemetaan injektif $$\eta: D \rightarrow F$$ $$\eta: d \mapsto (d,1)$$
Mudah dilihat bahwa $\eta$ adalah suatu homomorfisma ring yang satu-satu. Kita sebut $\eta$ sebagai penyisipan kanonik (canonical embedding).
Kemudian, untuk sebarang lapangan $F'$ dengan $\phi : D \rightarrow F$ suatu homomorfisma ring yang satu-satu, kita selalu bisa faktorkan $\phi$ melalui lapangan hasil baginya. Secara formal, kita katakan $(F,\eta)$ memenuhi universal property sehingga diagram berikut komutatif:
Dengan kata lain, kita punya proposisi berikut:
Proposisi 2
Misal $D$ suatu daerah integral dengan $F$ adalah lapangan hasil baginya dan $$\eta: D \rightarrow F$$ adalah penyisipan kanonik. Jika $\phi$ suatu homomorfisma ring satu-satu dari $D$ ke lapangan $F'$, ada secara tunggal suatu homomorfisma ring satu-satu $\tilde{\phi}$ sehingga $$\phi = \tilde{\phi}\eta$$
Bukti:
(Eksistensi)
Misal $(a,b) \in F$ dengan $b \ne 0$. Definisikan $$\Phi(a,b) = \phi(a){\phi(b)}^{-1}$$. Dapat diperiksa bahwa $\Phi$ terdefinisi dengan baik (silahkan periksa, templatenya serupa dengan yang kita gunakan di atas). Kita bisa lihat bahwa
$$\tilde{\phi}\left( (a,b) \right) = \Phi(a,b)$$ adalah homomorfisma ring yang satu-satu. Ambil $d \in D$, kita punya $$\tilde{\phi}\left( \eta(d) \right) = \tilde{\phi}\left( (d,1) \right)$$
$$= \Phi(d,1)$$
$$= \phi(d){\phi(1)}^{-1} = \phi(d)$$
sehingga $\tilde{\phi}\eta = \phi$
(Ketunggalan)
Tinjau $(a,b) \in F$. Karena $b \ne 0$, kita punyai $(a,b) = (a,1)(1,b) = (a,1){(b,1)}^{-1} = \eta(a){\eta(b)}^{-1}$. Agar $\tilde{\phi}\left(\eta(a)\right) = \phi(a)$ dan $\tilde{\phi}\left(\eta(b)\right) = \phi(b)$, haruslah $$\tilde{\phi}\left( (a,b) \right) = \phi\left( \eta(a) \right) {\phi\left( \eta(b) \right)}^{-1} = \phi(a){\phi(b)}^{-1}$$
Jadi, $\tilde{\phi}$ tunggal dan ditentukan oleh $\phi$ (oleh karena itu notasi yang kita gunakan juga sedemikian rupa serupa dengan $\phi$. QED.
Sebagai contoh tambahan, misalkan kita punya suatu gelanggang polinomial $R[X]$. Kita bisa membentuk lapangan hasil bagi yang dinotasikan sebagai $R(X)$ (yakni lapangan polinom rasional) dengan isinya adalah polinom dalam bentuk $\frac{f(x)}{g(x)}$ untuk $f(x), g(x)$ polinom di $R[X]$.
Nah, sekarang kita sudah punya bilangan bulat. Kita punya operasi penjumlahan yang komutatif, asosiatif, dan punya invers. Apa lagi yang kurang? Perhatikan bahwa kita bisa lengkapi bilangan bulat menjadi sistem dengan dua operasi (yakni, penjumlahan dan perkalian). Anda yang familiar dengan aljabar abstrak mungkin langsung mengenali bahwa bilangan bulat ini membentuk suatu gelanggang komutatif. Lebih lagi, bilangan bulat adalah suatu daerah integral (bahkan pendefinisian daerah integral dimotivasikan oleh sifat pada bilangan bulat). Apa itu daerah integral? Daerah integral $D$ adalah suatu gelanggang komutatif sehingga untuk $a,b \in D$ dengan $a \ne 0$ (0 di sini bermakna identitas penjumlahan), jika $ab = 0$ haruslah berlaku $b = 0$. Dengan kata lain, jika dua bilangan tak nol dikalikan, hasilnya tidak boleh nol. Sebagai contoh, pada gelanggang $\mathbb{Z}_6$ (gelanggang bilangan bulat modulo 6), kita punyai $2 \times 3 = 0$ sehingga $\mathbb{Z}_6$ bukanlah daerah integral. Properti menarik pada daerah integral adalah kita bisa melakukan pencoretan.
Proposisi 1 (Pencoretan)
Misal $D$ daerah integral dan $a,b,c \in D$ dengan $a \ne 0$. Jika $$ab = ac$$ maka berlaku $b = c$.
Bukti
Perhatikan bahwa kita tidak boleh langsung membagi kedua ruas dengan $a$ begitu saja (kenapa hayo?). Namun, kita bisa menjumlahkan kedua ruas dengan $-(ac)$ untuk mendapatkan
$$ab + (-ac) = 0$$
$$a(b + (-c)) = 0$$
Karena $a \ne 0$, haruslah $b + (-c) = 0$. Dengan kata lain, $b = c$. QED.
Nah, bisa ditunjukkan bahwa setiap daerah integral yang memiliki unsur berhingga banyaknya adalah suatu lapangan (silahkan anda coba buktikan, anda hanya perlu membuktikan bahwa setiap unsur di daerah integral hingga memiliki invers perkalian). Namun, bagaimana kalau kita ingin lebih umum? Secara umum, daerah integral memang bukan merupakan lapangan. Akan tetapi, kita dapat "melengkapi" daerah integral tersebut menjadi suatu lapangan. Kali ini, kita akan menggunakan hal tersebut untuk mengkonstruksi bilangan rasional dari bilangan bulat.
Tinjau daerah integral bilangan bulat $\mathbb{Z}$. Apa yang membuatnya gagal untuk menjadi lapangan? Perhatikan bahwa tidak semua unsur di $\mathbb{Z}$ dapat dikalikan dengan sesuatu untuk menjadi 1. Sebagai contoh, persamaan $2x = 1$ tidak punya solusi di $\mathbb{Z}$. Kalau begitu, bagaimana kalau kita buat ada saja? Kita akan manfaatkan konstruksi yang mirip-mirip dengan konstruksi bilangan bulat.
Mari kita buat himpunan berikut:
$$\tilde{F} = \{ (a,b) \, | \, a,b \in \mathbb{Z}, b \ne 0 \}$$
Interpretasi untuk pasangan terurut $(a,b)$ yang kita konstruksi di atas adalah bilangan $\frac{a}{b}$ yang biasa kita kenal dari sekolah dasar. Kita tidak menuliskannya sebagai pembagian karena memang di bilangan bulat pembagian tidak terdefinisi (karena tidak semua unsur di bilangan bulat punya invers perkalian). Kemudian, kita bentuk relasi berikut pada himpunan $\tilde{F}$:
$$(a,b) \sim (c,d) \iff ad = bc$$
Misalkan kita punya pecahan $\frac{a}{b}$ dan $\frac{c}{d}$. Kita tahu bahwa $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ jika dan hanya jika $ad = bc$. Representasi mereka mungkin berbeda, tetapi mereka sejatinya ialah hal yang sama (hence pendefinisian relasi kita). Fakta bahwa relasi tersebut ialah suatu relasi ekuivalensi akan saya serahkan pada pembaca untuk membutikannya (ga susah kok 😊)
Sekarang, kita bisa kumpulkan kelas-kelas ekuivalen tersebut, notasikan dengan $$F = \tilde{F}/\sim$$Unsur-unsur pada $F$ adalah kelas-kelas ekuivalen yang dibentuk oleh relasi $\sim$.
Sekarang, bagaimana kita mendefinisikan operasi pada himpunan ini? Pertama, mari kita coba definisikan penjumlahan dengan mendefinisikannya sebagai $(a,b) + (c,d) = (ad + bc, bd)$. Kenapa dibuat seperti ini? Kita ingin mencoba "meniru" penjumlahan pecahan (naif) yang kita kenal sejak sekolah dasar. Apakah operasi ini terdefinisi dengan baik? Mari kita periksa.
Misal $(a,b) \sim (a', b')$. Berarti $ab' = a'b$. Tinjau $(a',b') + (c,d) = (a'd + b'c, b'd)$. Perhatikan bahwa $(a'd + b'c)bd = a'bdd + b'bcd = ab'dd + b'bcd = (ad + bc) b'd$ sehingga $(a',b') + (c,d) \sim (a,b) + (c,d)$. Jadi, operasi penjumlahan terdefinisi dengan baik.
Kemudian, anda bisa melihat juga bahwa $(0,1)$ merupakan unsur identitas penjumlahan. Karena penjumlahannya terdefinisi dengan baik, semua unsur $\tilde{F}$ yang berelasi dengan $(0,1)$ juga merupakan identitas penjumlahan. Anda akan dapatkan bahwa kelas ekuivalen yang mengandung $(0,1)$ berisikan semua unsur dalam bentuk $(0,b)$ dengan $b \ne 0$. Mari kita notasikan kelas ekuivalen ini dengan $0_F$ (subscript $F$ hanya untuk menegaskan saja bahwa 0 di sini adalah suatu kelas pada $F$, bukan sebuah bilangan). Anda bisa observasi juga bahwa $(-a,b)$ adalah invers bagi $(a,b)$.
Dengan demikian, kita punyai himpunan $F$ yang dilengkapi operasi penjumlahan. Memeriksa kekomutatifan dan keasosiatifannya mudah (diturunkan dari sifat daerah integral), sehingga kita dapatkan $(F,+)$ membentuk suatu grup abel.
Berikutnya, mari kita definisikan operasi perkalian. Kita bisa definisikan sebagai $(a,b)(c,d) = (ac,bd)$. Apakah operasi ini terdefinisi dengan baik? Langkah membuktikannya serupa. Misalkan $(a,b) \sim (a',b')$, berarti $ab' = a'b$. Kemudian, perhatikan bahwa $acb'd = ab'cd = a'bcd = a'cbd$ sehingga $(a,b)(c,d) = (ac,bd) \sim (a'c,b'd) = (a',b')(c,d)$. Oleh karena itu, operasi perkalian terdefinisi dengan baik.
Dengan pendefinisian perkalian seperti itu, mudah dilihat bahwa $(1,1)$ adalah unsur identitas perkalian. Karena perkalian terdefinisi dengan baik, semua yang berelasi dengan $(1,1)$ juga merupakan identitas perkalian. Bisakah anda menebaknya? ;)
Kita tuliskan kelas ekuivalen yang berisi unsur identitas sebagai $1_F = \{ (b,b), b \ne 0 \}$. Dengan mudah pula kita dapat melihat bahwa $(b,a)$ adalah invers perkalian bagi unsur $(a,b)$. Mudah pula untuk diperiksa bahwa operasi perkalian bersifat komutatif dan asosiatif.
Apa yang kurang? Kita perlu memberi hubungan antara operasi penjumlahan dan perkalian. Hubungan ini dalam bentuk sifat distributif.
Tinjau $$(a,b)\left((c,d) + (e,f)\right)$$
$$= (a,b) \left((cf+de,df)\right)$$
$$= \left( a(cf + de), bdf \right)$$
$$= (acf+ade,bdf) \sim (acbf + bdae, bdbf) \textrm{ (silahkan anda periksa)}$$
$$= (ac,bd) + (ae,bf)$$
$$= (a,b)(c,d) + (a,b)(e,f)$$
(catatan: pada praktiknya, untuk menunjukkan ini anda akan bekerja maju-mundur dan terakhir membuktikan relasi yang di tengah memang benar)
Dengan demikian, kita punyai sifat distributif. Kita dapatkan $(F,+,\times)$ suatu lapangan (dan dapat diperiksa bahwa lapangan ini benar isomorfis dengan $\mathbb{Q}$. Inilah konstruksi kita untuk melengkapi bilangan bulat agar ia punya invers.
Secara lebih umum, kita dapat mengganti $\mathbb{Z}$ pada bahasan kita di atas dengan sebarang daerah integral $D$. Lapangan yang dihasilkan oleh konstruksi tersebut disebut sebagai lapangan hasil bagi (dalam referensi berbahasa Inggris dikenal pula sebagai field of fractions) dari daerah integral $D$. Fakta yang penting ialah lapangan hasil bagi ini merupakan lapangan terkecil yang memuat daerah integral $D$ (dalam artian, jika ada lapangan lain yang memuat $D$, harulah lapangan hasil bagi dari $D$ termuat di dalam lapangan tersebut).
Misalkan $D$ suatu daerah integral dan $F$ lapangan hasil bagi dari $D$. Kita bisa definisikan suatu pemetaan injektif $$\eta: D \rightarrow F$$ $$\eta: d \mapsto (d,1)$$
Mudah dilihat bahwa $\eta$ adalah suatu homomorfisma ring yang satu-satu. Kita sebut $\eta$ sebagai penyisipan kanonik (canonical embedding).
Kemudian, untuk sebarang lapangan $F'$ dengan $\phi : D \rightarrow F$ suatu homomorfisma ring yang satu-satu, kita selalu bisa faktorkan $\phi$ melalui lapangan hasil baginya. Secara formal, kita katakan $(F,\eta)$ memenuhi universal property sehingga diagram berikut komutatif:
Proposisi 2
Misal $D$ suatu daerah integral dengan $F$ adalah lapangan hasil baginya dan $$\eta: D \rightarrow F$$ adalah penyisipan kanonik. Jika $\phi$ suatu homomorfisma ring satu-satu dari $D$ ke lapangan $F'$, ada secara tunggal suatu homomorfisma ring satu-satu $\tilde{\phi}$ sehingga $$\phi = \tilde{\phi}\eta$$
Bukti:
(Eksistensi)
Misal $(a,b) \in F$ dengan $b \ne 0$. Definisikan $$\Phi(a,b) = \phi(a){\phi(b)}^{-1}$$. Dapat diperiksa bahwa $\Phi$ terdefinisi dengan baik (silahkan periksa, templatenya serupa dengan yang kita gunakan di atas). Kita bisa lihat bahwa
$$\tilde{\phi}\left( (a,b) \right) = \Phi(a,b)$$ adalah homomorfisma ring yang satu-satu. Ambil $d \in D$, kita punya $$\tilde{\phi}\left( \eta(d) \right) = \tilde{\phi}\left( (d,1) \right)$$
$$= \Phi(d,1)$$
$$= \phi(d){\phi(1)}^{-1} = \phi(d)$$
sehingga $\tilde{\phi}\eta = \phi$
(Ketunggalan)
Tinjau $(a,b) \in F$. Karena $b \ne 0$, kita punyai $(a,b) = (a,1)(1,b) = (a,1){(b,1)}^{-1} = \eta(a){\eta(b)}^{-1}$. Agar $\tilde{\phi}\left(\eta(a)\right) = \phi(a)$ dan $\tilde{\phi}\left(\eta(b)\right) = \phi(b)$, haruslah $$\tilde{\phi}\left( (a,b) \right) = \phi\left( \eta(a) \right) {\phi\left( \eta(b) \right)}^{-1} = \phi(a){\phi(b)}^{-1}$$
Jadi, $\tilde{\phi}$ tunggal dan ditentukan oleh $\phi$ (oleh karena itu notasi yang kita gunakan juga sedemikian rupa serupa dengan $\phi$. QED.
Sebagai contoh tambahan, misalkan kita punya suatu gelanggang polinomial $R[X]$. Kita bisa membentuk lapangan hasil bagi yang dinotasikan sebagai $R(X)$ (yakni lapangan polinom rasional) dengan isinya adalah polinom dalam bentuk $\frac{f(x)}{g(x)}$ untuk $f(x), g(x)$ polinom di $R[X]$.
Komentar
Posting Komentar
-Mohon untuk tidak spam di komentar-