Ketunggalan Limit dan Ruang Hausdorff

Pada salah satu soal ujian pengantar analisis real di matematika ITB semester ganjil tahun 2019/2020, diberikan pertanyaan berikut:

Definisikan lingkungan dari suatu titik $a \in \mathbb{R}$ sebagai himpunan $U := \{x \in \mathbb{R} : |x-a| < r \}$ untuk suatu $r > 0$. Sekarang, misalkan $a,b$ dua bilangan real berbeda. Tunjukkan bahwa ada suatu lingkungan $V$ dari a dan lingkungan $W$ dari $b$ sehingga $V \cap W = \emptyset$.

Jawab dari soal ini kurang lebih sebagai berikut:

Tanpa mengurangi keumuman, misalkan $a < b$. Titik tengah antara $a$ dan $b$ adalah $\frac{a+b}{2}$. Perhatikan bahwa dengan memilih $r = \frac{b-a}{2}$ dan mendefinisikan lingkungan $V := \{ x \in \mathbb{R} : |x-a| < r \}, W := \{ x \in \mathbb{R} : |x-b| < r \}$ kita punyai andaikan ada $y \in \mathbb{R}$ sehingga $y \in V \cap W$ dari syarat keanggotaan $V,W$ haruslah berlaku

$$y < a + r = \frac{a+b}{2} = b - r < y$$

yang mana itu adalah suatu kontradiksi. Jadi, haruslah $V \cap W = \emptyset$. Akibatnya, untuk sebarang $a,b$ bilangan real berbeda terdapat lingkungan $a$ dan lingkungan $b$ yang irisannya kosong.

Sekarang, apa konsekuensi dari pernyataan tersebut? Sebelumnya, mari kita belok sedikit dahulu.

Misalkan $\{x_n\}$ adalah suatu barisan bilangan real. Biasanya, kita katakan suatu bilangan real $x$ adalah limit dari barisan $\{x_n\}$ (atau $\{x_n\}$ konvergen ke $x$) apabila untuk setiap $\varepsilon > 0$ terdapat bilangan asli $N$ sehingga untuk setiap $n > N$ berlaku $|x_n - x| < \varepsilon$. Definisi ini dapat sedikit kita modifikasi dengan konsep lingkungan yang telah kita gunakan di atas. Kita katakan suatu bilangan real $x$ adalah limit dari barisan $\{ x_n \}$ apabila untuk setiap lingkungan $U$ dari $x$ terdapat bilangan asli $N$ sehingga $x_n \in U$ untuk setiap $n > N$. Saya persilahkan pembaca untuk memeriksa bahwa kedua hal tersebut ekuivalen. Sebagai tambahan lagi, definisi dari lingkungan $V$ dari titik $a$ dapat diperluas menjadi suatu subhimpunan dari $\mathbb{R}$ (dan menjadi sebarang ruang topologi jika ingin lebih diperluas lagi) sedemikian sehingga untuk suatu himpunan buka $U$ yang mengandung $a$ berlaku $U \subseteq V$. Menggabungkan keduanya, kita dapatkan definisi kekonvergenan tanpa harus bergantung pada metrik/fungsi jarak (yang dalam kasus bilangan real, nilai mutlak).

Nah, sekarang perhatikan bahwa dari hasil yang kita dapatkan di atas, kita bisa menunjukkan teorema berikut:

Teorema

Misalkan $\{x_n\}$ barisan bilangan real yang konvergen ke $x$ dan $y$. Haruslah $x = y$.

Dengan kata lain, limit dari suatu barisan haruslah tunggal.

Bukti

Misalkan $\{x_n\}$ konvergen ke $x$ dan $y$ dengan $x \ne y$. Dari hasil yang didapat di atas, terdapat suatu lingkungan yang irisannya kosong dari $x$ dan $y$, sebut sebagai $V$ dan $W$. Karena $\{x_n\}$ konvergen ke $x$, maka haruslah ada $N_V$ sehingga untuk $n > N_V$ berlaku $x_n \in V$. Akibatnya, titik-titik dari barisan $\{x_n\}$ yang tak berada di $V$ hanyalah berhingga banyaknya sehingga tidak mungkin $\{x_n\}$ konvergen ke $y$ (otherwise, harus ada tak hingga banyaknya titik dari $\{x_n\}$ yang berada di $W$ -- yang berarti ia tidak di $V$ karena irisan keduanya kosong). QED.

Teorema ini cukup penting ketika kita memperluas notion kita tentang limit dan kekonvergenan ke sebarang ruang topologi, bukan hanya di bilangan real saja. Untuk itu, kita berikan nama khusus.

Definisi

Suatu ruang topologi $X$ dikatakan Hausdorff apabila untuk setiap $x,y$ berbeda di $X$ terdapat lingkungan $V,W$ dari $x,y$ sehingga $V \cap W = \emptyset$