Berkenalan dengan Universal Property

Salah satu konsep terpenting dalam teori kategori adalah ide tentang objek universal dan properti universal (universal property). Konsep ini akan sangat banyak ditemui, terutama dalam menggeneralisasi berbagai konsep yang ada, seperti himpunan kuosien, hasil kali kartesian, dan lain-lain. Diperkuat dengan konsep dual pada suatu kategori (yakni dengan membalik panah pada diagram), kita dapat mencari konsep co-object dari suatu objek. Pada tulisan ini akan dibahas dahulu ide-ide dasar untuk memberi insight tentang objek universal pada kategori dan tidak ditujukan untuk mendefinisikan apa itu objek universal secara formal (dengan menggunakan kategori koma). Sebelum ke sana, mari kita bahas dulu konsep mendasar dalam mengkaji objek universal.

Objek Terminal

Kita awali dengan membahas dua buah konsep yang terkait erat:

Definisi

Misal $\mathscr{C}$ suatu kategori. Suatu objek $I$ pada $\text{Ob}(\mathscr{C})$ dikatakan sebagai objek inisial jika untuk setiap $A \in \text{Ob}(\mathscr{C})$ terdapat tepat satu morfisma dari $I$ ke $A$, yakni $$\forall A \in \text{Ob}(\mathscr{C}), \, \text{Mor}(I,A)$$merupakan suatu singleton.

Definisi

Misal $\mathscr{C}$ suatu kategori. Suatu objek $F$ pada $\text{Ob}(\mathscr{C})$ dikatakan sebagai objek final jika untuk setiap $A \in \text{Ob}(\mathscr{C})$ terdapat tepat satu morfisma dari $A$ ke $F$, yakni $$\forall A \in \text{Ob}(\mathscr{C}), \, \text{Mor}(A,F)$$merupakan suatu singleton.

Jika konteksnya jelas, kita sebut kedua objek tersebut sebagai suatu objek terminal atau objek universal dari suatu kategori. Sebagai contoh, pada kategori $\mathbf{Set}$, kita punyai himpunan kosong sebagai objek inisial dan himpunan berisi satu objek (suatu singleton) sebagai objek final. Kebenaran fakta ini diserahkan pada pembaca untuk meyakinkan dirinya masing-masing.

Perhatikan bahwa pada kategori $\mathbf{Set}$, objek final tidaklah tunggal. Masalah ini diselesaikan dalam teorema berikut.

Teorema

Misalkan $\mathscr{C}$ suatu kategori. Jika $X_1, X_2$ universal di $\mathscr{C}$ dengan jenis sama (yakni keduanya inisial atau keduanya final), $X_1 \simeq X_2$

Bukti. WLOG akan ditinjau untuk $X_1, X_2$ inisial. Untuk final pembuktiannya serupa. Misalkan $X_1, X_2$ inisial di $\mathscr{C}$. Karena $X_1$ inisial, ada secara tunggal $f \in \text{Mor}(X_1, X_2)$. Klaim kita adalah bahwa $f$ merupakan suatu isomorfisma. Karena $X_2$ inisial, ada secara tunggal $g \in \text{Mor}(X_2,X_1)$ sehingga $$gf = h \in \text{Mor}(X_1,X_1)$$Karena $X_1$ inisial, hanya ada tepat satu morfisma dari $X_1$ ke $X_1$ dan dari aksioma kategori, morfisma tersebut haruslah $1_{X_1}$. Akibatnya, $gf = h = 1_{X_1}$. Dengan cara serupa, dapat ditunjukkan bahwa $fg = 1_{X_2}$ sehingga $f$ isomorfisma. Akibatnya, $X_1 \simeq X_2$. QED.

Objek universal dalam suatu kategori tidak selalu ada. Sebagai contoh, kategori $\mathscr{C}$ dengan $\text{Ob}(\mathscr{C}) = \mathbb{Z}$ dan morfismanya adalah $\leq$. Contoh-contoh lain akan sering kita ketemui kelak ketika membahas generalisasi suatu konsep dengan bahasa category-theoretic.

Sekarang, tinjau kasus berikut. Misalkan $S$ suatu himpunan dan $\sim$ relasi ekuivalen pada $S$ serta $\pi: S \rightarrow S/\sim$ suatu pemetaan. Untuk setiap himpunan $T$ dan pemetaan $f: S \rightarrow T$, terdapat secara tunggal suatu pemetaan $f': S/\sim \, \rightarrow T$ sehingga diagram berikut komutatif:

Dengan kata lain, kita dapat memfaktorkan pemetaan $f$ melalui $S/\sim$. (Tanda garis putus-putus melambangkan bahwa pemetaan itulah yang ingin dibuktikan, tanda $\exists!$ menunjukkan bahwa pemetaan tersebut ada secara tunggal). Di mana peran objek universal di sini? Dalam penggunaanya, terkadang kita melakukan sedikit abuse of language. Kita bisa bilang $\pi$ adalah objek inisial dari kategori ini. Namun, apa kategorinya? Tetapkan suatu himpunan $S$ dan relasi ekuivalen $\sim$. Objek dalam kategori ini ialah pemetaan $f: S \rightarrow A$ sehingga $a \sim b$ mengakibatkan $f(a) = f(b)$. Morfisma pada kategori ini ialah diagram

Dari kekomutatifan diagramnya, kita punyai $\phi f_1 = f_2$. 

Teorema (Universal Property dari Kuosien)

Morfisma $\pi$ merupakan objek inisial pada kategori di atas.

Bukti. Ada dua hal yang perlu ditunjukkan. Pertama, bahwa untuk sebarang $f$, $\text{Mor}(\pi,f)$ tidak kosong. Kemudian, perlu ditunjukkan isinya tepat satu.

Untuk yang pertama, definisikan pemetaan $\phi$ dengan $\phi(\pi(s)) = f(s)$. Kita dapatkan diagramnya di $\text{Mor}(\pi,f)$. Kemudian yang kedua, untuk $\phi_1, \phi_2$ yang sama-sama memenuhi, kita punyai $\phi_1(\pi(s)) = \phi_1([s]) = f(s) = \phi_2([s]) = \phi_2(\pi(s))$ sehingga $\phi_1 = \phi_2$. QED.

Pemetaan $\pi$ adalah pilihan yang natural dalam menentukan objek universal dalam kategori di atas. Untuk itulah $\pi$ seringkali disebut sebagai proyeksi kanonik. Berikutnya setelah nyaman dengan ide dari objek universal, penggunaan abuse of language akan sedikit mempermudah dalam bekerja dengan objek universal. Masalah yang cukup penting adalah memahami di kategori apa kita bekerja.

Contoh lain terkait universal property adalah bagaimana menggeneralisir konsep hasil kali dengan bahasa kategori.

Hasil Kali dan Koproduk

Pertama, mari kita tinjau hasil kali kartesian dari himpunan $A,B$. Definisikan proyeksi $\pi_A((a,b)) = a$ dan $\pi_B((a,b)) = b$ yang menghasilkan diagram berikut:

Perhatikan bahwa untuk sebarang himpunan $S$ dengan terdapat $f_A: S \rightarrow A$ dan $f_B: S \rightarrow B$, kita punyai

Sekarang, perhatikan bahwa kita dapat mendefinisikan pemetaan $f: S \rightarrow A \times B$ dengan $s \mapsto (f_A(s), f_B(s))$ secara tunggal. Kita dapatkan diagram berikut komutatif:

Ide tentang hasil kali ini dapat kita perluas lebih lanjut dengan mendefinisikan suatu hasil kali (product) sedemikian sehingga diagram di atas komutatif. Sekarang, bagaimana kita memanfaatkan ide tentang objek universal untuk mendefinisikan hasil kali? Lagi-lagi masalah pertama adalah mengindetifikasi kategori apa yang perlu kita tinjau. Untuk kasus ini, tetapkan suatu objek $P$ pada suatu kategori (himpunan inilah yang menjadi $A \times B$ dalam observasi kita sebelumnua). Kemudian, pandang pasangan morfisma $f: P \rightarrow U$, $g: P \rightarrow W$ sebagai objek dalam kategorinya. Morfisma pada kategori ini ialah diagram

Definisi

Objek $P$ dikatakan sebagai hasil kali dari $U,W$ jika $(f,g)$ merupakan objek final pada kategori di atas

Dengan kata lain, terdapat suatu pemetaan $\phi$ yang difaktorkan melalui hasil kalinya; yakni $f\phi = f'$ dan $g\phi = g'$. Interpretasi inilah yang akan cukup memudahkan kita dalam bekerja dengan ide abstrak objek universal: pemetaan yang difaktorkan melalui suatu objek.

Contoh dari hasil kali adalah hasil kali kartesian pada kategori $\mathbf{Set}$ (well, duh). Contoh lainnya adalah pada kategori $\mathbf{Vect}_K$, yakni kategori dari ruang vektor atas lapangan $K$, hasil kali adalah jumlahan langsung dari ruang vektor.

Tentu saja ide dari hasil kali dua objek dapat kita perluas menjadi hasil kali dari suatu koleksi objek. Notasikan dengan $$P = \prod_{i \in I} X_i$$kita inginkan untuk setiap $i \in I$, diagram berikut komutatif:

Kemudian, dalam mengkaji suatu kategori, seringkali kita tertarik pula pada kategori dualnya. Untuk kasus ini, perhatikan bahwa kita bisa membalik panahnya dalam diagram pendefinisian hasil kali, menjadi sebagai berikut:

Jika pada hasil kali kita punyai pemetaan yang surjektif, kali ini kita punyai pemetaan yang injektif. Kita namai konsep baru ini sebagai koproduk dan kita notasikan koproduk dari objek $A,B$ sebagai $A \coprod B$. Hasil pembalikan panah ini menjadikan koproduk sebagai objek inisial, kontras dengan hasil kali sebagai objek final. Apa contoh konkret dari koproduk? Lagi-lagi kita akan meninjau kategori $\mathbf{Set}$. Perhatikan bahwa kita punyai injeksi dari $A$ dan $B$ ke $A \coprod B$. Kita dapat interpretasikan hal ini sebagai penyisipan unsur-unsur di $A$ dan $B$ ke suatu salinan yang isomorfis pada $A \coprod B$. Dengan kata lain, kita bisa konstruksikan suatu gabungan dengan unsur-unsur dari $A$ dan dari $B$ dianggap berbeda. Kita bisa gunakan penandaan pada unsur-unsurnya. Salah satu cara untuk mendefinisikannya secara konkret adalah

$$A \coprod B = \left( A \times \{0 \} \right) \cup \left( B \times \{1\} \right)$$

Generalisasinya menjadi koproduk bagi suatu koleksi cukup mudah dilakukan.

Untuk saat ini, sampai di sini dahulu balasannya. Dua konsep tersebut merupakan konsep dasar yang cukup familiar di aljabar. Dengan menggunakan objek universal, konsep tersebut dapat kita perluas ke dalam bahasa kategori dengan prinsip: pelajari hubungan antar objeknya, dibandingkan dengan (isi) objek itu sendiri.